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D1886. Une enveloppe pour deux lieux Problème proposé par Dominique Roux Un angle de grandeur constante et de sommet A coupe une droite donnée en deux points B et C Q

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

D1886. Une enveloppe pour deux lieux Problème proposé par Dominique Roux

Un angle de grandeur constante et de sommet A coupe une droite donnée en deux points B et C Q1 Quelle est l'enveloppe du cercle (ABC) ?

Q2 Quel est le lieu du centre de ce cercle ?

Q3 Quel est le lieu du centre du cercle inscrit dans le triangle ABC ? Solution proposée par Nicolas Petroff

(Q1 et Q2) Posons AH = h et angle( , angle(A , angle(AB ,

angle(ABC) = , angle(ACB) = , angle(AOB) = 2*angle(ACB)  angle(AOQ) = , angle(HAB) =  AB =

, AQ = ,

 QO =

, AOcos(  AO =

=

 AO = R =

 equation d’une hyperbole de foyer A , de rayon vecteur R , d’excentricité (1/cos( , et de directrice (D) 

le cercle ( de centre O et passant par le foyer A enveloppe donc intérieurement le cercle ( de rayon 2a = 2 :

(2)

(Q3) Le rayon r du cercle inscrit s’exprime en fonction de la formule : , , , étant les hauteurs menées des sommets A, B, C vers leurs côtés opposés .

(3)

, , ACcos(  AC =

. , ABcos(

. ,

: ceci est encore l’équation en coordonnées polaires d’une hyperbole de foyer A, d’excentricité

.

Montrons que sa directrice est encore la droite (D) 

? : Or angle( ,

,

=

? 

? 

? : cette dernière égalité est vraie  La droite (D) est encore la directrice de la dernière hyperbole .

---

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