D1886. Une enveloppe pour 2 lieux
Q1/ On consid`ere les 2 cas particuliers o`uBetC sont sym´etriques par rapport
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a la perpendiculaireAH men´ee deA`a la droiteBC: les centres des 2 cercles (Γ1 = A1B1C1, centre O1) et (Γ2 = A2B2C2, centre O2) sont sur cette perpendiculaire qui recoupeΓ1et Γ2aux pointsM etN.
Dans l’inversion de centreAqui ´echange les points M et N, la droiteBC de- vient le cercle (AB0C0), le cercle (ABC) devient la droiteB0C0et le segment B0C0 a une longueur fixe puisque l’angle en Aest constant. La droite B0C0 enveloppe le cercle ΓE de diam`etre M N qui est aussi l’enveloppe des cercles (ABC).
Q2/ O0, inverse du centre O du cercle (ABC), est le sym´etrique de A par rapport `a la droiteB0C0. Kmilieu deOO0 d´ecrit la podaire deΓE relative `a A, c`ad un lima¸con de Pascal avec point double en A, et dont l’inverse est une hyperbole.
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Le centre de l’hyperbole est le milieu P de O1O2, et les asymptotes sont les perpendiculaires men´ees deP aux tangentes (A,ΓE).
Q3/ J est le centre du cercle inscrit dans (AB1C1). P, Q, R et S sont les milieux des segmentsAC2,AB1,AC1 etAB2.
On examine d’abord le cas BAC\ =α.
DansABC, on a IM
IA =sin(α2). Id´ecrit donc un arc de l’hyperbole de foyer A, de directriceBC et d’excentricit´e IA
IM. L’arc est limit´e par les pointsP et S.
Le centre de l’hyperbole est le centreKde son cercle principal (B1J C1) et les asymptotes sont les droites KB1 etKC1.
Le cas o`u CAB\ = π−α est similaire. Le lieu est alors un arc d’hyperbole limit´e par les pointsQetR.
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