D 1946 LUDWIG 5
Problème proposé par Dominique Roux
On reprend l’énoncé et les notations de D1944 et de D1945.
Q
1Démontrer que la conique C est tangente en O à la droite d’Euler du triangle ABC
Q
2Démontrer que la droite d’Euler du triangle ABC passe par le centre du cercle circonscrit à A’B’C’.
Q1)
Rapportée à la base ABC, la conique C a pour équation trilinéaire x²(c²-b²)+y²(a²-c²)+z²(b²-a²)=0, et on a vu qu'elle passe par O de coordonnées (cos A, cos B, cos C).
Par dédoublement on obtient l'équation trilinéaire de la tangente en O à l'hyperbole C : x cos A (c²-b²)+y cos B (a²-c²)+z cos C (b²-a²) = 0.
Les coordonnées trilinéaires de l'orthocentre H du triangle ABC sont 1/cos A, 1/cos B, 1/cos C.
Si on porte ces coordonnées dans l'équation de la tangente en O : (c²-b²)+ (a²-c²)+ (b²-a²) = 0.
La tangente en O à l'hyperbole C est donc la droite OH, c'est bien la droite d’Euler du triangle ABC.
Q2)
Connaissant les coordonnées trilinéaires de A', B', C' :
A' : [(cos A)²-1 : cos A cos B + cos C : cos A cos C + cos B]B' : [ (cos B)²-1 : cos B cos C + cos A : cos B cos A + cos C]
C' : [ (cos C)²-1 : cos C cos A + cos B : cos C cos B + cos A]
je manque de pratique pour en déduire les coordonnées trilinéaires du centre du cercle circonscrit à A'B'C'.
Aussi je préfère revenir classiquement en repère orthonormé comme dans D 1944
Le repère a pour origine A, les points B' et C' ont pour coordonnées (m,0) et (n,0). Le cercle inscrit dans le triangle A'B'C' et circonscrit à ABC a pour rayon 1 et centre O. Alors l'hyperbole C a pour équation :
x²- y² + xy
(m² +1)(n² +1)+4 (mn−1)
2( m+n)
- x(m+n) + y(1-mn) + mn = 0La droite d'Euler (en rouge) est la tangente à C au point (0,1), par dédoublement on obtient son équation :
-Y + X
(m² +1)( n² +1)+4 (mn−1)
4( m+n)
- X(m+n)/2 +(1+Y)(1-mn)/2 + mn = 0 qu'on simplifie: DROITE D'EULER : →(m²n²-m²-n²-3)X + 2(1-Y)(mn+1)( m+n) = 0 (*)
On doit calculer les coordonnées du point O'.D'abord le point A', intersection des droites B'A' et C'A' 2my+(x-m)(1-m²)=0 et 2ny+(x-n)(1-n²)=0 a pour coordonnées x = mn(m+n)/(mn+1) et y = (m²-1)(n²-1)/[2(mn+1)]
Ensuite la médiatrice de A'B' , après calculs, a pour équation :
2mx + y(m²-1) – [
m4(n²-1)+8m3n+2m²n²+6m²+n²-1] / [4(mn+1)] = 0 (**) Celle de B'C' a pour équation 2x–
(m+n)=0 (***)Maintenant, soit on montre que ces trois droites (*)(**)(***) appartiennent à un même faisceau linéaire, soit on calcule encore les coordonnées du point O' ce qui donne
x = (m+n)/2 y =
(m² −1)(n² −1)+4mn 4 (mn+1)
Coordonnées qu'on reporte dans l'équation (*), pour aboutir à 0 = 0.
Donc le centre O' du cercle circonscrit au triangle A'B'C' est sur la droite d'Euler du triangle ABC.
