D1947 – Cousinage olympique
Problème proposé par Dominique Roux
Soit un triangle ABC rectangle en C.Soit X un point variable sur la hauteur issue de C. On appelle droites vertes les deux droites joignant A aux points communs à BX et au cercle de centre A passant par C et droites bleues les deux droites joignant B aux points communs à AX et au cercle de centre B passant par C.On construit les quatre points d’intersection d’une droite verte avec une droite bleue.
Déterminer les lieux de ces quatre points quand X se déplace sur la hauteur issue de C Source : d’après un problème d’une olympiade internationale de mathématiques
On reconnaît la construction de cercles tangents à deux cercles donnés. D'habitude on s'appuie sur les deux inversions qui échangent les deux cercles. Ici les deux cercles donnés, de centres A et B ne sont pas quelconques mais orthogonaux.
Le pôle L de la droite BX par rapport au cercle (A) est situé sur la polaire de B, en fait sur la hauteur CH, en un point L tel que HX.HL = HC² . Le pôle de la droite AX par rapport au cercle (B) est le même point L.
L est sur l'axe radical des cercles (A) et (B), donc les quatre segments de tangentes issues de L aux cercles (A) et (B) ont même longueur. Par exemple LF = LE et si EA et FB se coupent en G, les triangles rectangles LEG et LFG sont symétriques par rapport à la droite LG , d'où GE = GF . [ en pointillé le cercle de centre G tangent en E au cercle (A) et en F au cercle (B) ]
De GA+AC = GB+BC on tire GA-GB = BC-AC : Quand X varie sur CH, G varie sur une branche de l'hyperbole de foyers A et B qui passe par C.
Des raisonnements analogues s'appliquent aux quatre points (droites bleues)∩ (droites vertes).
Sur la figure ci-dessus on aperçoit quatre cercles en pointillé, et, suivant la nature des contacts qu'ils ont avec nos cercles (A) et (B), leurs centres Z vérifient :
ou bien ZA+ZB = CA+CB , ou bien │ZA – ZB│= │CA – CB│.
Les lieux de ces quatre points quand X se déplace sur la hauteur issue de C sont donc l'ellipse et l'hyperbole de foyers A et B qui passent par C. On peut vérifier qu'elles sont décrites en entier.
