D1886– Une enveloppe pour deux lieux Problème proposé par Dominique Roux
Un angle de grandeur constante et de sommet A coupe une droite donnée en deux points B et C.
Q₁ Quelle est l'enveloppe du cercle (ABC) ? Q₂ Quel est le lieu du centre de ce cercle ?
Q₃ Quel est le lieu du centre du cercle inscrit dans le triangle ABC ? Solution proposée par Patrick Gordon
On raisonne sur l'inverse de la figure dans une inversion de pôle A.
La droite BC devient un cercle fixe Ω passant par A.
L'angle (AB, AC) est inchangé.
Le cercle ABC devient la corde B'C'.
Q₁
Le problème inverse est donc :
Dans un cercle fixe, on fait tourner un angle de grandeur constante autour de son sommet A situé sur le cercle; cet angle coupe le cercle en 2 points B'C'. On demande l'enveloppe de la corde B'C'.
Réponse
L'angle inscrit B'AC' est constant, donc aussi l'angle au centre. La corde B'C' est donc à une distance fixe du centre du cercle fixe Ω (AB'C'). Son enveloppe1 est donc un cercle concentrique à ce dernier.
Retour au problème direct.
Comme le cercle enveloppe de B'C' ne passe pas par A, son inverse, l'enveloppe du cercle ABC, est un cercle.
Q₂
Le cercle ABC a pour inverse la droite B'C'. L'inverse O' de son centre O est donc le symétrique de A par rapport à la droite B'C'. Or B'C' enveloppe un cercle concentrique à (ABC). Le lieu de O' est donc
l'homothétique (A,2) de la podaire de ce cercle par rapport à A. Comme A n'est pas sur ce cercle, cette podaire est un limaçon de Pascal et le lieu de O est l'inverse d'icelui, donc une hyperbole d’excentricité > 1 et dont A est un des foyers et la doite (BC) est la directrice.
1 nota : partout où l'on parle d'une enveloppe ou d'un lieu, il faut entendre tout ou partie de, selon que l'énoncé entend angle de droites ou de demi-droites
Q₃
Il est plus simple ici de raisonner sur la figure directe que sur l'inverse.
Prenons la droite BC comme axe des x et le point A sur Oy. Notons :
- D la distance fixe OA,
- (x, y) les coordonnées de I, centre du cercle inscrit - 2 l'angle fixe des droites AB, AC
- l'angle OAI
Le rayon du cercle inscrit IH n'est autre que y. Mais IH = IK = AI sin
Quant à x, il vaut AI sin. Mais AI cos+ y = D Soit donc à résoudre en (x, y) les 3 équations :
x = AI sin
y = AI sin
D = AI cos+ y
où D et sont des constantes et AI et des variables à éliminer.
Il vient :
(D – y)² + x² = AI² = y²/ sin²
(D – y)² sin²– y² + x² sin² = 0
C'est l'équation d'un arc d’hyperbole dont A est un des foyers et la droite BC la directrice
