Diophante E214 Les punitions de Zig et Puce
Zig et Puce ont chahuté en classe de mathématiques. Pour les punir, leur professeur qui n’est plus autorisé à leur faire copier cinq cents fois la même ligne, leur donne les deux exercices suivants destinés à les occuper pendant un bon moment:
E1 Puce reçoit une première liste de 2019 entiers compris entre 0 et n qu’il doit recopier sur une même colonne puis en face de chaque entier il doit écrire sur une deuxième colonne le nombre de fois où cet entier apparaît dans la première colonne.
Puce constate qu'en lisant la deuxième colonne de bas en haut, il obtient la liste de la première colonne lue de haut en bas. Déterminer la plus petite valeur possible de n.
E2 Zig reçoit une deuxième liste de 2019 entiers pas nécessairement distincts qu’il doit recopier sur une même colonne. Comme l’a fait Puce, il doit écrire en face de chaque entier sur une deuxième colonne le nombre de fois où cet entier figure dans la première colonne. A l’inverse de Puce, il poursuit sur une troisième colonne en écrivant en face de chaque entier de la deuxième colonne le nombre de fois où il figure dans cette même colonne. Et ainsi de suite… Zig ne peut s'arrêter que lorsque tous les entiers de la (k − 1)ième colonne et ceux la kième colonne sont ligne à ligne identiques avec k ≥ 3.Il obtient ainsi un tableau Tk de 2019 lignes et k colonnes.
Q1 Démontrer que Zig est certain de s'arrêter après avoir écrit un nombre fini de colonnes.
Q2 Trouver le nombre maximum de colonnes du tableau Tk.
Q3 Décrire une liste de 2019 entiers telle que Tk contient le maximum de colonnes et la dernière colonne contient au moins cinq entiers distincts.
E1 Par construction, 0 ne peut pas être utilisé. Pour raison de symétrie, il doit y avoir un nombre impair (et un seul) au milieu de la liste puis utilisé en mêmes quantités de part et d’autre, et des nombres pairs utilisés en même quantité (leur moitié) de part et d’autre. 2 est utilisé deux fois, 4 est utilisé quatre fois, … , 88 est utilisé quatre-vingt-huit fois. Cela donne un total de 1980. Il reste le nombre impair 2019 – 1980 = 39 utilisé trente-neuf fois.
La plus petite valeur possible de n est 88.
E2 Q1 En passant d’une colonne à la suivante, si l’on n’obtient jamais l’utilisation du même nombre au moins deux fois, alors la nouvelle colonne est identique et on s’arrête. Sinon, le nombre en question est au moins doublé et, au total, on diminue d’au moins un la quantité des nombres utilisés. Zig est certain de s'arrêter après avoir écrit un nombre fini de
colonnes.
E2 Q2 Le cas le plus favorable est celui du type où la première colonne contient 0, 1, 2, 2, 4, 4, 4, 4, 8 … La deuxième contient alors 1, 1, 2, 2, 4, 4, 4, 4, 8, 8, 8, 8, 16 … La troisième contient alors 2, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 8 ... La quatrième contient 4, 4, 4, 4, 8 ... Et ainsi de suite jusqu’à la dixième colonne qui contient 512 fois 256 et 512 fois 512, la onzième qui contient 1024 fois 512, la douzième qui contient 1024 fois 1024 et enfin la treizième qui lui est identique. Le nombre maximum de colonnes du tableau Tk est 13.
E2 Q3 Dans la première colonne, on peut ajouter les nombres 3, 3, 3, 6, 6, 6, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 12, ... , 384. Et ainsi de suite (d’une colonne à la suivante) jusqu’à 768 fois 384. Puis on peut ajouter les nombres 5, 5, 5, 5, 5, 10, 10, 10, 10, 10, 15, ... , 80. Et ainsi de suite jusqu’à 160 fois 80. Puis on peut ajouter les nombres 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 14, ... , 28. Et ainsi de suite jusqu’à 56 fois 28. Enfin, on peut ajouter onze 11 de sorte que 1024 (le 512 dans la dernière
colonne) + 768 (le 384) + 160 (le 80) + 56 (le 28) + 11 (le 11) = 2019.
Jean-Louis Legrand
