Enoncé E337 (Diophante) Congrua exercitatio
Zig dit à Puce : “J’ai trouvé un entier X qui ajouté à un carré parfaitN2 donne le carré d’un nombre premier p <100 et retranché de N2 donne le carré d’un nombre premier q. L’un de ces nombres premiers est d’ailleurs mon âge. Que vaut X?”
Puce qui connaît l’âge de Zig dit : “Je ne sais pas répondre”.
Zig dit alors : “Si je t’avais précisé d’entrée de jeu que mon âge était égal à q, tu aurais su répondre du premier coup”.
Puce : “Cette fois-ci, je sais répondre”.
Démontrer pourquoi Puce ne sait pas puis sait répondre et déterminer X et q.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
La relation X = p2−N2 = N2−q2 permet de lister les solutions où p et q sont premiers, 0 < q < p < 100 ; (2N, p+q, p−q) est un triplet pythagoricien, d’où p et q sont de la forme 8k±1 et appartiennent à la liste 7, 17, 23, 31, 41, 47, 71, 73, 79, 89, 97.
Je dresse le tableau où, pour chaque couple (p, q) satisfaisant cette condi- tion, on incrit p en premère colonne et q en deuxième colonne, puis q en première colonne et p en troisième colonne. Chaque couple donne une valeur deX.
7 17,23
17 7 31,73 23 7 47,89 31 17
41
47 23 79
71 97
73 17 79 47 89 23 97 71
Puce, qui connaît l’âge de Zig, ne peut répondre sans autre indication : c’est qu’il existe plusieurs valeurs en 2e ou 3e colonne dans la ligne de cet âge.
Puce peut répondre quand il sait que cet âge est q : c’est qu’il y a une seule valeur en 3e colonne.
Zig a 47 ans et X= 792−652 = 652−472= 2016.
