E337 - Congrua exercitatio [*** à la main]
Zig dit à Puce: "J'ai trouvé un entier X qui ajouté à un carré parfait N² donne le carré d'un nombre premier p < 100 et retranché de N² donne le carré d'un nombre premier q. L'un de ces nombres premiers est d'ailleurs mon âge. Que vaut X?"
Puce qui connaît l'âge de Zig dit :" Je ne sais pas répondre".
Zig dit alors: " Si je t'avais précisé d'entrée de jeu que mon âge était égal à q,tu aurais su répondre du premier coup".
Puce: "Cette fois-ci, je sais répondre".
Démontrer pourquoi Puce ne sait pas puis sait répondre et déterminer X et q.
Solution proposée par Thérèse Eveilleau
Les nombres premiers inférieurs à 100 ne sont pas nombreux :
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97
La forme générale des solutions qui suivent est notée ainsi : N² + X = p²
N² - X = q²
Les huit différents couples de solutions donneraient : 13² + 120 = 17²
13² – 120 = 7² 17² + 240 = 23² 17² – 240 = 7² 25² + 336 = 31² 25² – 336 = 17² 37² + 840 = 47² 37² – 840 = 23² 65² + 2016 = 79² 65² – 2016 = 47² 85² + 2184 = 97² 85² – 2184 = 71² 53² + 2520 = 73² 53² – 2520 = 17² 65² + 3696 = 89² 65² – 3696 = 23²
On sait que Puce connaît l’âge de Zig et qu’elle ne sait pas répondre d’emblée.
Il faut donc éliminer les valeurs de p ou q qui n’apparaissent qu’une seule fois : ce sont 31, 79, 97, 71, 73.
Sinon, elle saurait répondre immédiatement.
Donc :
13² + 120 = 17² 13² – 120 = 7² 17² + 240 = 23² 17² – 240 = 7² 25² + 336 = 31² 25² – 336 = 17² 37² + 840 = 47² 37² – 840 = 23² 65² + 2016 = 79²
65² – 2016 = 47² 85² + 2184 = 97² 85² – 2184 = 71² 53² + 2520 = 73² 53² – 2520 = 17² 65² + 3696 = 89² 65² – 3696 = 23²
Ensuite, elle sait que l’âge est égal à q ( dans chaque couple, c’est le deuxième nombre à droite de l’égalité).
Du coup elle saura...
On étudie : 13² – 120 = 7² 17² – 240 = 7² 25² – 336 = 17² 37² – 840 = 23² 65² – 2016 = 47² 53² – 2520 = 17² 65² – 3696 = 23²
Pour qu’elle sache répondre avec la nouvelle indication, l’âge (qu’elle connaît) ne doit apparaître qu’une seule fois sinon elle aura plusieurs possibilités et ne saura toujours pas.
Cela nous amène à éliminer les valeurs : 7, 17, 23.
13² – 120 = 7² 17² – 240 = 7² 25² – 336 = 17² 37² – 840 = 23² 65² – 2016 = 47² 53² – 2520 = 17² 65² – 3696 = 23²
Il ne reste que 65² – 2016 = 47²
Tiens donc ... 2016
Zig a 47 ans, X vaut 2016, N vaut 65.
