E337. Congrua exercitatio
Zig dit à Puce: "J'ai trouvé un entier X qui ajouté à un carré parfait N² donne le carré d'un nombre premier p < 100 et retranché de N² donne le carré d'un nombre premier q. L'un de ces nombres premiers est d'ailleurs mon âge. Que vaut X?"
Puce qui connaît l'âge de Zig dit :" Je ne sais pas répondre".
Zig dit alors: " Si je t'avais précisé d'entrée de jeu que mon âge était égal à ,X, tu aurais su répondre du premier coup".
Puce: "Cette fois-ci, je sais répondre".
Démontrer pourquoi Puce ne sait pas puis sait répondre et déterminer X et q.
Solution proposée par Daniel Collignon X+N²=p²
N²-X=q²
D'où 2N² = p²+q², 2X = p²-q² et q<N<p<100 ((p+q)/2)² + ((p-q)/2)² = N²
A l'aide de la formule donnant les triplets pythagoriciens (m>n premiers entre eux de parité contraire), nous avons N = k(m²+n²) avec :
- soit (p+q)/2 = k(m²-n²) et (p-q)/2 = 2kmn, d'où p=k(m²+2mn-n²) et q=k(m²-2mn-n²)
- soit (p+q)/2 = 2kmn et (p-q)/2 = k(m²-n²), d'où p=k(m²+2mn-n²) et q=k(n²+2mn-m²)
Comme p et q sont 2 nombres premiers, nous avons k = 1.
Pour résumer les 2 cas, p = m²+2mn-n² et q = abs(m²-2mn-n²).
Comme p<100, cela entraîne 9>m>n.
Sur les 15 cas théoriques, en éliminant les cas où p>=100, p ou q non premiers, il reste les 8 cas :
n m p q N x
1 4 23 7 17 240
1 6 47 23 37 840
1 8 79 47 65 2016
2 3 17 7 13 120
2 7 73 17 53 2520
3 4 31 17 25 336
4 7 89 23 65 3696
6 7 97 71 85 2184
Puce ne sait pas répondre car il y a au moins 2 configurations où l'âge de Zig apparaît.
Puce sait ensuite répondre car il y a exactement 1 configuration où l'âge de Zig vaut q.
Le seul nombre premier apparaissant exactement 1 fois en colonne q et au moins 1 autre fois en colonne p est 47.
Conclusion : X=2016 (tiens tiens :)) et q=47
