E337 - Congrua exercitatio
Zig dit à Puce: "J'ai trouvé un entier X qui ajouté à un carré parfait N² donne le carré d'un nombre premier p < 100 et retranché de N² donne le carré d'un nombre premier q. L'un de ces nombres premiers est d'ailleurs mon âge. Que vaut X?"
Puce, qui connaît l'âge de Zig, dit :" Je ne sais pas répondre".
Zig dit alors: " Si je t'avais précisé d'entrée de jeu que mon âge était égal à q, tu aurais su répondre du premier coup".
Puce: "Cette fois-ci, je sais répondre".
Démontrer pourquoi Puce ne sait pas puis sait répondre et déterminer X et q.
Solution par Patrick Gordon On a :
X = p² – N² = N² – q².
Donc
N² = ½ (p² + q²) q < p < 100 p et q premiers.
Les couples de carrés de nombres premiers différents < 100 dont la demi-somme est un carré sont (triés par valeurs de q, pour une raison qui apparaîtra incessamment) :
p q N X
17 7 13 120
23 7 17 240
31 17 25 336
73 17 53 2520
47 23 37 840
89 23 65 3696
79 47 65 2016
97 71 85 2184
Puce connaît l'âge de Zig mais, non seulement il y a des solutions multiples en q, mais en outre Puce ne sait pas si cet âge de Zig est p ou q. Or il y a des âges (17, 23, 47) qui peuvent être aussi bien p que q. Donc, le premier énoncé de Zig "un de ces nombres premiers est d'ailleurs mon âge" ne permettrait à Puce de trouver que si l'âge de Zig (qu'il connaît) était un nombre à occurrence unique, soit 31, 71, 73, 79, 89, 97. Si Puce ne trouve pas, c'est que tel n'est pas le cas.
Si Zig avait dit d'entrée de jeu : "mon âge est égal à q", Puce serait resté dans l'incertitude pour toutes les valeurs de q doubles (7, 17, 23). Seraient restées alors les valeurs q = 47 et 71.
Mais 71 est à occurrence unique. Si tel avait été l'âge de Zig, Puce, entendant le premier énoncé de Zig "un de ces nombres premiers est d'ailleurs mon âge" et sachant que cet âge est 71, aurait trouvé dès le premier énoncé de Zig.
Reste donc q = 47. Puce est alors dans l'incertitude car cet âge (qu'il connaît) peut aussi bien être p que q, jusqu’à ce que Zig lève l'incertitude par son second énoncé.
La réponse est donc :
p = q = N = X = 79 47 65 2016
Nota Zig a 47 ans, mais 79 n'est pas l'âge de Puce, ce qui serait un peu vieux pour jouer aux devinettes – quoique…
