E337. Congrua exercitatio
Zig dit à Puce: "J'ai trouvé un entier X qui ajouté à un carré parfait N² donne le carré d'un nombre premier p < 100 et retranché de N² donne le carré d'un nombre premier q. L'un de ces nombres premiers est d'ailleurs mon âge. Que vaut X?"
Puce qui connaît l'âge de Zig dit :" Je ne sais pas répondre".
Zig dit alors: " Si je t'avais précisé d'entrée de jeu que mon âge était égal à q, tu aurais su répondre du premier coup".
Puce: "Cette fois-ci, je sais répondre".
Démontrer pourquoi Puce ne sait pas puis sait répondre et déterminer X et q.
On a q² + X = N² et N² + X = p² et √((p²+q²)/2) = N avec N entier Ce qui donne 8 possibilités :
p² q² N N² X p q
289 49 13 169 120 17 7
529 49 17 289 240 23 7
961 289 25 625 336 31 17 2209 529 37 1369 840 47 23 5329 289 53 2809 2520 73 17 6241 2209 65 4225 2016 79 47 7921 529 65 4225 3696 89 23 9409 5041 85 7225 2184 97 71
Si ZIG avait 71 ans, PUCE aurait répondu du premier coup.
SI ZIG avait 7, 17 ou 23 ans, l’information complémentaire ne permettrait pas de répondre.
ZIG a donc 47 ans ce qui laissait deux possibilités avant l’information complémentaire et explique l’impossibilité de réponse initiale.
X = 2016
