E337 - Congrua exercitatio [*** à la main]
Zig dit à Puce: "J'ai trouvé un entier X qui ajouté à un carré parfait N² donne le carré d'un nombre premier p < 100 et retranché de N² donne le carré d'un nombre premier q. L'un de ces nombres premiers est d'ailleurs mon âge. Que vaut X?"
Puce qui connaît l'âge de Zig dit :" Je ne sais pas répondre".
Zig dit alors: " Si je t'avais précisé d'entrée de jeu que mon âge était égal à q,tu aurais su répondre du premier coup".
Puce: "Cette fois-ci, je sais répondre".
Démontrer pourquoi Puce ne sait pas puis sait répondre et déterminer X et q.
Solution de Marie-Christine Piquet
Tout d'abord l'énoncé n'interdit pas la primalité de N .
Si on retire 2 & 5 , le carré d'un nombre premier est toujours congru à 1 ou 9 (mod 10) ; 7²=49 , 11²=121 , 13²=169 etc...
la moyenne arithmétique de 2 de ces carrés pris au hasard : a) si q² = xxxx1 et p² = xxxx9 , N² = xxxx0
b) si q² = xxxx9 et p² = xxxx1 , N² = xxxx5
c) si q² = xxxx9 et p² = xxxx9 , N² = xxxx4 ou N² = xxxx9 ---> dans ce cas , N peut lui aussi être premier
d) si q² = xxxx1 et p² = xxxx1 , N² = xxxx1 --> N peut être premier
Puce , connaissant un des 2 nombres premiers ( l'âge de Zig ) ne peut d'abord pas répondre parce qu'il a trouvé deux solutions :
solution (1) : (p1 , q) et solution (2) : (q , p2)
Les 2 solutions trouvées par Puce : (q = 23 , N² = 1369 , X = 840 , p = 47 ) puis ( q = 47 , N²
= 4225 , X = 2016 , p = 79 )
q est commun aux 2 solutions et q s'avère être l' âge de Zig . Il peut finalement conclure lorsque Zig l'aide en lui avouant que
son âge est le plus petit des 2 premiers ;
Puce en déduit tout de suite que le couple ( q , p2 ) est le seul possible.
Puce connaît l'âge de Zig : 47 ans . Sa première réponse issue de son premier raisonnement:
a) 47 est le plus petit des premiers : 47² = 2209 , les nombres à étudier ne sont pas légion , et il détermine finalement p2= 79
La moyenne arithmétique de 47² et 79² est N² = 65² = 4225
X =1/2 X (79 - 47 ) x (79 + 47) = 32 x 63 = 2016 ( encore lui !!).
b) 47 est le plus grand des 2 premiers : dans ce cas p1 = 23 . la moyenne arithmétique de 47² et 23² est : N² = 37² = 1369 X = 1/2 x (47 - 23) x (47 + 23 ) = 12 x 70 = 840 .
Lorsque Zig lui annonce que son âge est q , Puce en conclut que X = 2016 .
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