E337. Congrua exercitatio
Zig dit à Puce: "J'ai trouvé un entier X qui
ajouté à un carré parfait N² donne le carré d'un nombre premier p < 100 et retranché de N² donne le carré d'un nombre premier q. L'un de ces
nombres premiers est d'ailleurs mon âge. Que vaut X?"
Puce qui connaît l'âge de Zig dit :" Je ne sais pas répondre".
Zig dit alors: " Si je t'avais précisé d'entrée de jeu que mon âge était égal à q,tu aurais su répondre du premier coup".
Puce: "Cette fois-ci, je sais répondre".
Démontrer pourquoi Puce ne sait pas puis sait répondre et déterminer X et q.
Solution proposée par Jean Nicot
N²+X=p² et N²-X=q² soit 2N²=p²+q² et 2X= p²-q²
On a 100>p>q. Un tableur fournit les valeurs de p et q donnant N entier, et X p q N X
7 1 5 24
17 1 12 144
17 7 13 120
23 7 17 240
31 17 25 336
41 1 29 840
47 23 37 840
73 17 53 2520
79 47 65 2016
89 23 65 3696
Zig ne peut avoir 17 ans qui figure en double dans la colonne p et la colonne q
Zig ne peut avoir 23 ans car Puce n’aurait su répondre même avec la connaissance de la colonne q pour l’âge.
La seule incertitude est alors 47 ans ; elle est levée par la connaissance de la colonne q q = 47 et X= 2016
