E337 - Congrua exercitatio [*** à la main]
Zig dit à Puce: "J'ai trouvé un entier X qui ajouté à un carré parfait N² donne le carré d'un nombre premier p < 100 et retranché de N² donne le carré d'un nombre premier q. L'un de ces nombres premiers est d'ailleurs mon âge. Que vaut X?"
Puce qui connaît l'âge de Zig dit :" Je ne sais pas répondre".
Zig dit alors: " Si je t'avais précisé d'entrée de jeu que mon âge était égal à q,tu aurais su répondre du premier coup".
Puce: "Cette fois-ci, je sais répondre".
Démontrer pourquoi Puce ne sait pas puis sait répondre et déterminer X et q.
Solution de Raymond Bloch.
Si N+X = p2 et N-X = q2, p et q premiers, q p alors N2 = ½ ( p2 + q2 ) (1) et X = ½ ( p2 – q2 ).
Les seuls couples ( p, q ) satisfaisant (1) sont : ( p, q ) N X
(17,7) 13 120 (23,7) 17 240 (31,17) 25 336
(73,17) 53 2520 (47,23) 37 840 (89,23) 65 3696 (79,47) 65 2016 (97,71) 85 2184
Puce ne sait pas répondre parce qu’il existe dans le tableau EXACTEMENT un nombre premier qui intervient 2 fois : une fois comme p, et une fois comme q. Le seul dans ce cas est q = 47, d’où N = 65 et X = 2016 !!!
Superbe trouvaille !
