E337. Congrua exercitatio
Zig dit à Puce: "J'ai trouvé un entier X qui ajouté à un carré parfait N² donne le carré d'un nombre premier p < 100 et retranché de N² donne le carré d'un nombre premier q. L'un de ces nombres premiers est d'ailleurs mon âge. Que vaut X?"
Puce qui connaît l'âge de Zig dit :" Je ne sais pas répondre".
Zig dit alors: " Si je t'avais précisé d'entrée de jeu que mon âge était égal à ,X, tu aurais su répondre du premier coup".
Puce: "Cette fois-ci, je sais répondre".
Démontrer pourquoi Puce ne sait pas puis sait répondre et déterminer X et q.
Solution proposée par Claudio Baiocchi
La valeur de coïncide avec l’année en cours.
Les valeurs de et nombres premiers avec peuvent être cherchées en imposant que est le double du carré d’un entier ; ensuite on posera . Eventuellement à l’aide d’un petit programme on trouve huit solutions pour le couple qui, triées par rapport à puis à , donnent lieu aux quadruplets :
q 7 7 17 17 23 23 47 71
p 17 23 31 73 47 89 79 97
N 13 17 25 53 37 65 65 85
X 120 240 336 2520 840 3696 2016 2184
La valeur 71, (ainsi que d’autres) ne peut pas correspondre à l’âge de Zig, car elle parait dans un seul couple, donc Puce aurait individué ce couple dès le premier coup.
Parmi les autres valeurs de , une fois précisé que ce nombre coïncide avec l’âge de Zig, on doit exclure 7, 17 et 23 car Puce aurait encore des doutes ; il ne reste que qui, couplé à , donne la solution X=2016. On remarquera que, tout en sachant que Zig a 47 ans, Puce n’a pas pu répondre au premier coup à cause du couple (23,47).
