A564 Les premiers montent au premier.
A tout entier n de la forme n = paqbrc.. avec p,q,r,..facteurs premiers et a,b,c,...exposants > 0, on associe l’entier f(n) défini par f(n) = apbqcr.. expression dans laquelle les facteurs premiers et les exposants de n opèrent un chassé-croisé. Exemple n = 8 = 2³, d’où f(n) = 3² = 9.
On définit par récurrence fi(n) tel que fi(n) = f(fi-1(n)) avec f¹(n) = f(n). Par exemple n = 24 = 2³.3¹.
On a f(24) = 3².1³ = 3² = 9, f²(24) = f(9) = 2³ = 8, f³(24) = f(f²(24)) = f(8) = 3² = 9,etc...
Q Trouver un entier n tel que f(n) = 2012₁ 2012.
Q2 Trouver un entier n tel que la séquence des fi(n) pour i = 1,2,... comporte au moins 15 termes tous distincts.
Q1 Les nombres 1999 et 13 sont premiers. Leur somme est 2012. Si n = 19992012. 132012 , on a bien f(n) = 20121999. 201213 = 20122012.
Q2 Pour n = 2^12135 , la séquence des fi(n) pour i = 0,1,2,... 15 comporte 16 termes.
2^12135→809².3².5²→2^817→43².19²→2^62→31².2²→2^33→11².3²→2^14→7².2²→2^9→3^4→
2^6→3².2²→2^5→5² .
Cette séquence est obtenue, à partir de la fin, de la façon suivante :
5=3+2, 3*2=6, 6=3+3, 3*3=9, 9=7+2, 7*2=14, 14=11+3, 11*3=33, 33=31+2, 31*2=62, 62=43+19, 43*19=817, 817=809+3+5, 809*3*5=12135, à chaque étape on décompose un produit de nombres premiers en somme de deux ou trois nombres premiers (distincts ou égaux)
