A564. Les premiers montent au premier
A tout entier de la forme avec facteurs premiers et exposants, on associe l’entier défini par , expression dans laquelle les facteurs premiers et les exposants de opèrent un chassé-croisé. Exemple , d’où .
On définit par récurrence tel que avec . Par exemple
. On a ,etc...
1) Trouver un entier tel que
2) Trouver un entier tel que est un multiple entier de – Retirée de l’énoncé
3) Trouver un entier tel que la séquence des comporte au moins 15 termes tous distincts Solution proposée par David Amar
Propriété 1 : est une fonction multiplicative
Démonstration : Soient et premiers entre eux, on a et où les et sont tous différents puisque et n’ont aucun facteur commun.
Par conséquent, Remarque : n’est pas une fonction complètement multiplicative, par exemple :
Question 1 : . On remarque que les exposants ne sont pas premiers, ce qui nous empêche de prendre . En revanche, soient deux nombres premiers dont la somme vaut 4048, on a
On trouve par exemple
Procédons de même pour : D’après la propriété 1, on a donc
Question 2 : La question était de trouver tel que , ce qui semble impossible pour . On peut toutefois facilement trouver tel que , par exemple tous les nombres avec premier, ou tous les nombres avec premiers ; ou encore tous les produits de 2 de ces nombres s’ils sont premiers entre eux (d’après la propriété 1).
Par exemple est multiple de 4.
Il semblerait de plus que tout nombre égal à son image par est un produit de termes , premiers entre eux deux à deux, tous les étant soit de la forme , soit de la forme avec premiers.
Question 3 : On peut construire ce nombre en partant de , puis en remontant à , en cherchant ensuite tels que et considérer alors ,etc…
On trouve alors
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Jusqu’au 15ème ces nombres sont tous distincts. En effet, il s’agit soit d’un carré de nombres tous différents ( et non puissances de 2), soit d’une puissance de 2 avec des exposants différents.
