A564. Les premiers montent au premier ***
À tout entiern de la formen=paqbrc... avecp, q,r... facteurs premiers eta,b,c,...exposants
>0, on associe l’entierf(n) défini parf(n)=apbqcr... expression dans laquelle les facteurs pre- miers et les exposants denopèrent un chassé-croisé.
Exemplen=8=23, d’où f(n)=32=9.
On définit par récurrencefi(n) tel que fi(n)=f ¡
fi−1(n)¢
avec f1(n)=f(n).
Par exemple, pourn=24=23.31, on a
f(24)=32.13=32=9, f2(24)=f(9)=23=8,f3(24)=f(f2(24))=f(8)=32=9, etc.
1. Trouver un entierntel que f(n)=20122012.
2. Trouver un entiern tel que la séquence des fi(n) pouri =1, 2,... comporte au moins 15 termes tous distincts.
Solution de Claude Felloneau
1. Pourn=22012·72012·20032012, on af(n)=20122012car 2, 7 et 2003 sont premiers et 2003+ 7+2=2012.
2. Pourn=2 421 136=24·3892, les entiersf1(n), f2(n), f3(n), ..., f15(n) sont distincts.
f1(n)=42·2389=2393, f2(n)=3932=32·1312, f3(n)=23·2131=2134, f4(n)=1342=22·672, f5(n)=22·267=269, f6(n)=692=32·232, f7(n)=23·223=226, f8(n)=262=22·132, f9(n)=22·213=215, f10(n)=152=32·52, f11(n)=23·25=28, f12(n)=82=26, f13(n)=62=22·32, f14(n)=22·23=25, f15(n)=52.
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