Problème A334 - Solution de Jean Drabbe
L'ouvrage [2] de Dickson est une source abondante d'informations historiques sur les nombres multiparfaits.
Une argumentation très simple due à Lehmer [3] permet de répondre à deux des questions posées.
Il est bien connu que la fonction arithmétique σ définie par σ(n) = somme de tous les diviseurs de n est multiplicative.
Lorsque n est de la forme n = p^a où p est premier, on a : σ(n) = (p^(a + 1) – 1) / (p – 1)
et σ(n) / n = ((p – 1 / (p^a) ) / (p – 1) < p / (p – 1) (1) Trivialement, la fonction f définie par :
pour tout naturel n > 1 , f(n) = n / (n – 1) est strictement décroissante. (2) Supposons que n soit k – parfait et admette exactement r < k facteurs premiers.
Alors, (1) et (2) montrent que
k = σ(n) / n < 2 / 1 • 3/2 • ... • (r+1) / r = (r+1) ≤ k . Contradiction ! Supposons que n soit 5 – parfait et que n admette 5 facteurs premiers.
Alors,
5 = σ(n) / n < 2 /1 • 3/2 • 5/4 • 7/6 • 11/10 = 77/16 < 5 !!!
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Tout nombre n de la forme 2^a • 3 • 5 est 3 – parfait si et seulement si (2^(a + 1) – 1 ) • 8 = 15 • 2^a .
Cette condition est vérifiée lorsque n = 2^3 • 3 • 5 = 120 .
Dans une lettre à Mersenne datée du 15 novembre 1638 ([1], Tome III, page 111), Descartes énonce la propriété suivante (dont la démonstration ne pose aucune difficulté).
Propriété 1 – Si n est 3 – parfait et si n = 3 • m où m est copremier avec 15 alors, 45 • n est 4 – parfait.
Comme 2^5 • 3 • 7 est 3 – parfait, on en déduit que
30240 = 2^5 • 3^3 • 5 • 7 est 4 – parfait.
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Le nombre 5 – parfait trouvé par Descartes (1638) est
14182439040 = 2^7 • 3^4 • 5 • 7 • 11^2 • 17 • 19 .
Il figure dans une lettre de Descartes à Mersenne datée du 13 juillet 1638 ([1], Tome II, page 347).
Descartes ne décrit malheureusement pas la façon dont il a obtenu ce résultat.
Un autre nombre nombre 5 – parfait est décrit dans une lettre de Descartes à Frenicle datée du 9 janvier 1639 ([1], Tome III, page 155).
Il s'agit de 2^7 • 3^5 • 5 • 7^2 • 13 • 17 • 19 obtenu par Descartes à partir du nombre 5 – parfait de Frenicle 2^10 • 3^5 • 5 • 7^2 • 13 • 19 • 23 • 89 .
Descartes obtient ce résultat en utilisant implicitement la propriété suivante (avec a = 3^5 • 5 • 7^2 • 13 • 19 , b = 2^7 • 17 , c = 2^10 • 23 • 89).
Propriété 2 – Si pgcd(a,b) = 1 , pgcd(a,c) = 1 et σ(b) = σ(c) alors, a • b est k – parfait si et seulement si a • c est k – parfait.
[1] DESCARTES, R. Correspondance, publiée avec une introduction et des notes par Ch. Adam et G. Milhaud, Librairie Félix Alcan, Paris (1939-1963).
[2] DICKSON, L. History of the Theory of Numbers, vol 1, Divisibility and Primality, Chelsea Publishing Company, New York (1971).
[3] LEHMER, D. Multiply Perfect Numbers, The Annals of Mathematics, 2 (1900-1901), pp. 103-104 .
