A 564. Les premiers montent au premier.
A tout entier n de la forme n = pa qb rc… avec p, q, r,.. facteurs premiers et a, b, c,...exposants > 0, on associe l’entier f (n) défini par f (n) = ap bq cr… expression dans laquelle les facteurs premiers et les exposants de n opèrent un chassé-croisé. Exemple n = 8 = 2³, d’où f (n) = 3² = 9.
On définit par récurrence f i (n) tel que f i (n) = f (f i-1(n)) avec f ¹(n) = f (n). Par exemple n = 24 = 2³.3¹ on a f (24) = 3².1³ = 3² = 9, f ² (24) = f (9) = 2³ = 8, f ³ (24) = f (f ² (24)) = f (8) = 3² = 9,etc.
Q1 Trouver un entier n tel que f (n) = 20122012.
Q2 Trouver un entier n tel que la séquence des f i (n) pour i = 1, 2, ... comporte au moins 15 termes tous distincts.
Solution proposée par Michel Lafond Q1.
Si n = 503256 2 (503 ˆ 1006)
, comme 503 est premier, on a :
f (n) = 256503 (5031006)2 = (28)503 5032012 = 22 2012 5032012 = (22 503)2012 = 20122012 Q2.
En partant de n = 6733 on obtient 20 termes distincts :
n f (n)
1 6733 3367 = 367 1167
2 367 1167 673 6711 = 6714
3 6714 1467 = 267 767
4 267 767 672 677 = 679
5 679 967 = 3134
6 3134 1343 = 23 673
7 23 673 32 367 = 369
8 369 693 = 33 233
9 33 233 33 323 = 326
10 326 263 = 23 133
11 23 133 32 313 = 315
12 315 153 = 33 53
13 33 53 33 35 = 38
14 38 83 = 29
15 29 92 = 34
16 34 43 = 26
17 26 62 = 22 32
18 22 32 22 23 = 25
19 25 52
20 52 25
