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G 257.Attention aux nids-de-poule Solution proposée par Michel Lafond

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Academic year: 2022

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G 257.Attention aux nids-de-poule

Solution proposée par Michel Lafond

 Si on note R (n) le nombre de régions obtenues à partir de n points, on vérifie facilement à la main que : R (2) = 2 R (3) = 4 R (4) = 8 R (5) = 16 R (6) = 31 R (7) = 57 R (8) = 99.

Après c’est plus difficile mais on sait que R (n) = (n4 – 6 n3 + 23 n2 – 18 n + 24) / 24.

Consulter le site mathworld.wolfram.com/ et cliquer sur :

Discrete Mathematics puis Division Problem puis Cercle Division by Chords

On trouve R (10) = 256 et R (n) dépasse 2010 pour à partir de n = 17 pour lequel on a R (17) = 2517.

 Remarque : l’expression de R (n) lorsque les points sont aux sommets d’un polygone régulier est bien plus compliquée (en tous cas si n est pair) à cause des intersections multiples. Elle n’a été trouvée que récemment vers 1990. On peut la voir sur le même site en cliquant sur :

Discrete Mathematics puis Division Problem puis Regular Polygon Division by Diagonals.

Références

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