G257-Attention aux nids-de-poule!
On trace toutes les cordes qui relient n points pris deux à deux sur la circonférence d’un cercle sans que trois d’entre elles soient concourantes à l’intérieur du cercle. Elles partagent le cercle en N régions disjointes entre elles. Pour n = 2,3 et 4, on obtient respectivement N = 2,4 et 8. Pour quelles valeurs de n, observe-t-on respectivement N = 16 puis N = 256 et enfin pour la première fois N > 2010?
Solution proposée par Jean Nicot
Chaque fois qu’une corde est tracée, on ajoute une région. Chaque fois qu’une corde en coupe une autre, on ajoute aussi une région.
Pour n points sur la circonférence, on tracera C2n cordes, soit n!/(2!(n-2)!) régions ajoutées.
Un point d’intersection est ajouté dès que les 4 extrémités de deux cordes forment un quadrilatère. Il existe C4n quadrilatères soit n!/(4!(n-4)!) régions ajoutées.
Le nombre de régions est donc :
N= 1 + n!/(2!(n-2)!)+ n!/(4!(n-4)!)= (n4-16n3+23n²-18n+24)/24
Un tableur fournit les valeurs numériques :
n N
0 1
1 1
2 2
3 4
4 8
5 16
6 31
7 57
8 99
9 163
10 256
11 386
12 562
13 794
14 1093
15 1471
16 1941
17 2517
N=16 pour n=5. N=256 pour n= 10.
N dépasse 2010 pour la première fois pour n=17.
