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G103-Trois points au hasard sur un cercle

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Academic year: 2022

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Texte intégral

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G103-Trois points au hasard sur un cercle

Solution

On prend le centre du cercle pour origine 0 et l’axe des x passe par le premier point P choisi au hasard sur la circonférence du cercle. On désigne par a et b les angles polaires des points Q et R.

Ces deux angles obéissent indépendamment l’un de l’autre à des lois de distribution uniforme sur [0,2π ]. La loi de distribution du couple (a,b) est alors définie par f(a,b)=1/(4π2).

Les coordonnées cartésiennes des points P,Q et R sont respectivement (1,0), (cos(a), sin(a)) et (cos(b), sin(b)).

L’aire A du triangle est donnée par la formule du déterminant :

2*A = x1y2x2y1 avec x1cosa1, y1sina, x2 cosb1, y2 sinb D’où 2*A  sin a-sin bcosa.sin b-sina.cosb

Si ab2π, 2*A = sin a-sin bcosa.sin b-sina.cosb et si 0ba, 2*A = b

sina.cos b

a.sin cos b sin a sin

-   

L’espérance mathématique de l’aire du triangle est alors déterminée par E(A)

=



a,b 2 0

b).da.db

A.f(a, = A.da/2π

b a, 0



.db/2π

Une première intégration par rapport à b donne le résultat suivant : (1/2) [ (-sina sinb cosa.sinb sina.cosb)/2π.db

0

a

+ (sina sinb cosa.sinb sina.cosb)/2π.db

2

a

] (2-a.sin aπ.sin a-2cosa)/2π = g(a)

Puis une deuxième intégration par rapport à a donne : .da

4π a)/

a.sin - (2 .da 2

g(a)/ 2

0

0

D’où E(A)3/(2π)

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