G103-Trois points au hasard sur un cercle
Solution
On prend le centre du cercle pour origine 0 et l’axe des x passe par le premier point P choisi au hasard sur la circonférence du cercle. On désigne par a et b les angles polaires des points Q et R.
Ces deux angles obéissent indépendamment l’un de l’autre à des lois de distribution uniforme sur [0,2π ]. La loi de distribution du couple (a,b) est alors définie par f(a,b)=1/(4π2).
Les coordonnées cartésiennes des points P,Q et R sont respectivement (1,0), (cos(a), sin(a)) et (cos(b), sin(b)).
L’aire A du triangle est donnée par la formule du déterminant :
2*A = x1y2x2y1 avec x1cosa1, y1sina, x2 cosb1, y2 sinb D’où 2*A sin a-sin bcosa.sin b-sina.cosb
Si ab2π, 2*A = sin a-sin bcosa.sin b-sina.cosb et si 0ba, 2*A = b
sina.cos b
a.sin cos b sin a sin
-
L’espérance mathématique de l’aire du triangle est alors déterminée par E(A)
=
a,b 2 0
b).da.db
A.f(a, = A.da/2π
2π b a, 0
.db/2π
Une première intégration par rapport à b donne le résultat suivant : (1/2) [ (-sina sinb cosa.sinb sina.cosb)/2π.db
0
a + (sina sinb cosa.sinb sina.cosb)/2π.db
2
a
] (2-a.sin aπ.sin a-2cosa)/2π = g(a)Puis une deuxième intégration par rapport à a donne : .da
4π a)/
a.sin - (2 .da 2
g(a)/ 2
2π
0 2π
0
D’où E(A)3/(2π)