Secondes Cours – trigonométrie
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I.
a)
Le radian
Définition : : C est le cercle de centre O et de rayon 1.
Le radian est la mesure de l’angle au centre qui intercepte sur C un arc de longueur 1.
b)
Cercle trigonométrique
Angles dans un cercle
Définition : On appelle cercle trigonométrique un cercle orienté de rayon 1.
Orienté signifie "sur lequel on a choisi un sens". En l'occurence, le sens positif choisi, est le sens inverse des aiguilles d'une montre.
~ı
~
O 1
1
−1
−1
La mesure en degré de 1 radian vaut donc :
1 rd= 180 π ≃57˚
Remarque : Le radian est une grande unité qui n’est pas intuitive contraire- ment au degré qui est notre unité pre- mière.
Avantage : Permet de connaître la lon- gueur d’un arc. Unité du système inter- national
Il est important de connaître les angles remarquables en radian : Degré 30˚ 45˚ 60˚ 90˚
Radian π 6
π 4
π 3
π 2 +
2
Exemple : Convertir en radian les angles en degré suivants : 15˚ , 36˚ , 75˚ , 120˚ , 135˚ , 150˚
Pourconvertirunangleenradian,onutiliselaconversion180˚=π rd,soitpourx degré on a : xπ
180 radian.
On obtient alors :
Degré 15˚ 36˚ 75˚ 120˚ 135˚ 150˚
Radian π 12
π 5
5π 12
2π 3
3π 4
5π 6 Exemple : Convertir en degré les angles en radian suivant :
8 ,
12 ,
18 ,
π 7π 5π 11π
6
Pour convertir un angle en degré, on utilise la conversion 180˚=π rd, soit poury π
y180
radian on a : degré.
Radian π 8
7π 12
5π 18
11π 6 Degré 22,5˚ 105˚ 50˚ 330˚
+ exercices concrets de la feuille projetée
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II. Cosinus et sinus d'un réel
Définition : L’abscisse du point M est le cosinus du réel x, noté cos(x) ou
simplement cos x.
L’ordonnée du point M est le sinus du réel x, noté sin(x) ou simplement sin x.
On obtient ainsi deux fonctions définies sur r : Cos : x cos(x) sin : x sin(x) Propriétés :
Pour tout réel x,
-1 ≤ cos(x) ≤ 1 -1 ≤ sin(x) ≤ 1 cos²(x) + sin²(x) = 1 Démonstration de cos²(x) + sin²(x) = 1
Le triangle OMC est rectangle en C.
En appliquant le théorème de Pythagore, on obtient : OM² = OC² + CM² Soit cos²(x) + sin²(x) = 1 (car OM = 1)
Valeurs remarquables :
x 0 p
6
p 4
p 3
p
2 p
cos x 1 3
2
2 2
1
2 0 -1
sin x 0 1
2
2 2
3
2 1 0
Soit x un nombre réel et M le point du cercle associé à x.
A tout réel x, on associe un point M du cercle trigonométrique par enroulement de la droite des réels.
a)
b) Exemples : Si x = , ... est le point associé à . J a pour coordonnées ( ; )
J
I'
J' p/2 I
p/2
donc cos = ... et sin = ...p/2 p/2 Exemples : Si x = , ... est le point associé à . I' a pour coordonnées ( ; )p
p
donc cos = ... et sin = ...p p
