D2920– Partage équitable [*** à la main]
On trace 2021 points dans le plan de sorte que trois quelconques d’entre eux ne sont jamais sur une même droite et quatre quelconques d’entre eux ne sont jamais cocycliques.
Démontrer qu’on sait toujours tracer un cercle qui contient trois points sur sa circonférence, avec 1009 points qui sont à l’extérieur et 1009 points qui sont à l’intérieur.
Solution proposée par Daniel Collignon
Dans un repère orthonormé arbitraire, on choisit A un point d'abscisse maximale m.
On considère la droite d'équation y=m et on la fait tourner dans le sens trigonométrique jusqu'à rencontrer un autre point, B : il est alors unique car sinon nous aurions trois points alignés.
Tous les autres points se trouvent alors dans un demi-plan délimité par (AB).
On classe dans l'ordre croissant les angles x_i = AM_iB pour les autres points M_i avec i=1..2019 : x_1 < ...
< x_2019
Ces angles sont tous distincts car sinon nous aurions quatre points cocycliques.
Alors M_1, ..., M_1009 sont à l'extérieur, tandis que M_1011, ..., M_2021 sont à l'intérieur du cercle passant par A, B et M_1010 le point formant l'angle médian.
