• Le radian est une unité d’angle définie comme l’arc entre deux points du cercle unité de longueur 1.

Angles orientés mesurés en radian

• Le radian est une unité d’angle définie comme l’arc entre deux points du cercle unité de longueur 1.

• L’angle ( ~ _u, ~ _v ) est orienté de ~ _{u vers} ~ _v.

On a les relations suivantes :

( ~ _u, ~ _v ) + ( ~ _v, ~ _w ) = ( ~ _u, ~ _w ) relation de Chasles ( ~ _v, ~ _u ) = − ( ~ _u, ~ _v ) et ( − ~ _u, ~ _v ) = ( ~ _u, ~ _v ) + ^π

• Soit θ

₁

et θ

₂

deux mesures d’un même angle ( ~ _u, ~ _v ) :

∃ ^k ∈ ^R , θ

₂

= ^θ

₁

+ k 2 π ⇔ ^θ

2

= ^θ

₁

[ 2 π ]

• θ mesure principale d’un angle ( ~ _u, ~ _v ) si θ ∈ ] − ^{π ; π} ]

Lignes trigonométriques Dans le cercle unité, α est l’angle orienté : cos α = projeté de α sur (Ox)

= OA

sin α = projeté de α sur (Oy

= OB

tan α = projeté de α sur ( T )

= IC

α cosα

sinα tanα

b

O I

A

B C

(T)

Relations fondamentales

• − ¹ 6 _{cos a} 6 ₁

− 1 6 _{sin a} 6 ₁ ^, ∀ ^a ∈ ^R

• ∀ ^a ∈ ^R , sin

²

a + cos

²

a = 1

• tan a = ^{sin a}

cos a , ∀ ^a 6 = ^π 2 + k π 1 + tan

²

a = ¹

cos

²

a

α 0 π

6

π 4

π 3

π 2

sin α 0 1

2

√ 2 2

√ 3

2 1

cos α 1

√ 3 2

√ 2 2

1

2 0

tan α 0

√ 3

3 1 √

3 ∞

Angles orientés et trigonométrie

Formules d’addition Soient a et b deux angles quelconques :

• Avec cosinus on « ne panache pas » : cos ( a + b ) = cos a cos b − sin a sin b cos ( a − ^b ) = cos a cos b + sin a sin b

• Avec sinus on « panache » :

sin ( a + b ) = sin a cos b + cos a sin b sin ( a − ^b ) = sin a cos b − cos a sin b

b

b

b

b

b

b

b

b b

b

b

b

b

b

b

π 6 π 4 π 3 π

2π 2 3π 3

4 5π

6

π

-

^π₆

-

^π₄

-

^π₃

-

^π₂

-

²₃^π

-

³₄^π

-

⁵₆^π

√3 2

√2 1 2

-

^√₂³ 2

-

^√₂²

-

¹₂

√3

√ 2 22

12

-

^√₂³

-

^√₂²

-

¹₂

1 1

− ¹

− 1

Tableau de signes de cosinus et sinus cos θ 6 ₀

sin θ > ₀

cos θ > ₀ sin θ > ₀ cos θ 6 ₀

sin θ 6 ₀

cos θ > ₀ sin θ 6 ₀

Formules de duplication et de linéarisation

1) Formule de duplication :

• cos ( 2a ) = cos

²

a − sin

²

a

= 2 cos

²

a − ¹ = 1 − ^{2 sin}

²

^a

• sin ( 2a ) = 2 sin a cos a 2) Formules de linéarisation

• cos

²

a = ¹ + cos ( 2a )

2 • sin

²

a = ¹ − cos ( 2a ) 2 PROF : ATMANI NAJIB 1er BAC Sciences Expérimentales BIOF

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Symétries et compléments

b

b

b

b b

b

O

x

-x

π 2 −^x

π 2 +x

π−x

π+x cos(−^x) = cos(x)

sin(−^x) =−^sin(x) cos(^π+x) =−^cos(x)

sin(^π+x) =−^sin(x) cos(^π−^x) =−^cos(x) sin(^π−^x) = sin(x)

cosπ

2−^x=sin(x) sinπ

2 −^x=cos(x) cosπ

2 +x

=−^sin(x) sinπ

2 +x

= cos(x)

Exemple d’application Soit A = cos π

7 + cos 9 π

14 + cos 8 π

7 + cos 23 π

14 . Montrer que A = 0 A = cos π

7 + cos 9 π

14 + cos 8 π

7 + cos − ⁵ ₁₄ ^{π car 23} ₁₄ ^π = − ⁵ ₁₄ ^π [ 2 π ]

= cos π

7 + cos π 2 + ^π

7

+ cos π + ^π

7

+ cos 5 π 14

= cos π

7 − sin π

7 − cos π

7 + cos π 2 − ^π ₇

= − ^{sin π} ₇ + sin π 7

= 0

Applications des formules

• Relations fondamentales : Sachant que cos π 5 =

√ 5 + 1

4 , calculer sin π 5 sin

²

π

5 = 1 − cos

²

π

5 = 1 − ⁵ + 2 √ 5 + 1

16 = ¹⁰ − 2 √ 2 16

cos^π₅>0

⇒ sin π

5 =

p 10 − ² √ 5 4

• Formules d’addition : cos 7 π

12 = cos π 3 + ^π

4

= cos π 3 cos π

4 − ^{sin π} ₃ ^{sin π} ₄ = ¹ 2 ×

√ 2 2 −

√ 3 2 ×

√ 2 2

=

√ 2 − √ 6 4 sin π

12 = sin π

3 − ^π ₄ = sin π 3 cos π

4 − ^{cos π} ₃ ^{sin π} ₄ =

√ 3 2 ×

√ 2 2 − ¹ ₂ ×

√ 2 2

=

√ 6 − √ 2 4

• Formules de linéarisation :

cos

²

π 8 = ¹

+ cos π 2 4 = ¹

+

√ 2

2 2 = ² + √ 2 4

cos^π₈>0

⇒ cos π 8 =

p 2 + √ 2 2

sin

²

π

8 = ¹ − cos π 2 4 = ¹ −

√ 2

2 2 = ² − √ 2 4

cos^π₈>0

⇒ sin π 8 =

p 2 − √ 2 2 PROF : ATMANI NAJIB 1er BAC Sciences Expérimentales BIOF

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Figure donnant les formules d’addition de cosinus et sinus

• On trace un cercle C de centre O et de rayon 1.

• On repère le rayon [OA] par rapport à la droite (OI) par les angles x et y.

• Le point A se projette orthogonalement en H sur la droite (OI).

• Le point A se projette orthogonalement en B sur la droite formant un angle y avec (OI).

• Le point B se projette orthogonalement en C sur la droite (OI).

• Le point A se projette orthogonalement en D sur la droite (CB). On a alors : _ABD [ = y.

Sachant que cosinus est la projection orthogonale sur l’axe horizontal et sinus sur l’axe vertical, on obtient la figure suivante :

cos ( x + y ) cos x cos y

cos x sin y sin x cos y sin x sin y

sin ( x + y )

y x

y

1

co s x

sin x C

O

A

B

H C

D

I

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