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G257. Attention aux nids-de-poule !

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Academic year: 2022

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G257. Attention aux nids-de-poule !

Partant de la région formée par le disque initial, toute nouvelle corde crée une région supplémentaire, tout comme chaque nouveau point d’intersection entre deux cordes. Deux points sur la circonférence du cercle définissent une unique corde et réciproquement. Quatre points sur la circonférence du cercle définissent un unique (c’est là qu’intervient l’hypothèse « sans que trois d’entre elles soient concourantes à l’intérieur du cercle ») point d’intersection de deux cordes et réciproquement (point diagonal intérieur du quadrangle). Il y a clairementCn2 cordes etCn4points d’intersection de deux cordes, d’oùrn = 1+Cn2+Cn4régions.

Une autre manière pour s’en convaincre est d’utiliser la relation d’Euler : lesn sommets sur la circonférences sont de degrén−1,tandis que les Cn4 sommets intérieurs sont de degré 4, d’oùs=n+Cn4sommets eta=12 n(n−1) + 4Cn4

= Cn2+2Cn4arêtes (attention à ne pas les compter 2 fois). Il y a doncrn=a+1−s= 1+Cn2+Cn4régions (on a décompté la région « extérieure au cercle » non bornée).

A ce stade, il est aisé de répondre aux questions,rn étant une fonction stricte- ment croissante den:

– r5= 16 – r10= 256

– r16= 1941 etr17= 2517

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