D625: Quatre droites concourantes
Problème proposé par Pierre Jullien
Soit un triangle ABC. Déterminer à la règle et au compas l'ensemble des points D du plan contenant ABC tels que les parallèles menées respectivement des points A, B, C et D aux segments CD, DA, AB et BC soient toutes quatre concourantes en un point P. .
P est donc sur la parallèle à AB passant par C. AP et AD d’une part, BP et CD d’autre part ont même projection suivant la direction de BC, et en écrivant les parallélismes après projection suivant AB et BC, on obtient AB/CP=DP/BC et AB/CP=1+BC/DP. Si l’on pose x=AB/CP, on a donc x=1+1/x , donc x est égal au nombre d’or φ=(1+√5)/2.
La construction en découle: on construit la parallèle à AB passant par C, et E sur BC, avec C entre B et E, tel que CE= φBC (BC/2 plus la diagonale d’un rectangle de cotés BC et BC/2). EA coupe la parallèle à AB passant par C en P, et le point D est
l’intersection des parallèles à BP passant par A, et à AP passant par C.
