Quatre droites concourantes
Problème D625 de Diophante, proposé par Pierre Jullien
Soit un triangle ABC. Déterminer à la règle et au compas l'ensemble des points D du plan contenant ABC tels que les parallèles menées respectivement des points A, B, C et D aux segments CD, DA, AB et BC soient toutes quatre
concourantes en un point P.
Solution analytique
Dans, le repère A (0, 0), B (1, 0), C (0, 1) le point P de rencontre des quatre parallèles est sur la parallèle à AB menée de C ; il a donc pour ordonnée 1. Notons m son abscisse.
La droite AP a alors pour équation y = x / m et la droite CD, qui lui est parallèle, a pour équation : y = x / m + 1. De manière analogue, la droite AD, parallèle à la droite BP, a pour équation : y = x / (m-1)
P D
C
A B
Ainsi, D a pour coordonnées (m(m-1), m) et appartient à la parallèle menée de P à la droite BC, dont l'équation est : x + y = m +.1
D'où la contrainte : m(m-1) + m = m + 1 soit : m2 = m + 1
Il n'y a que deux solutions, selon que m est le nombre d'or € ou l'opposé de son inverse -1/€.
Le point D a pour coordonnées (1, m) et est le barycentre des trois points A, B et C affectés des coefficients respectifs : -€, 1, € ou 1/€, 1, -1/€.
Dans les deux cas, le pentagone obtenu (ABPDC ou ADBCP) peut être
considéré comme la projection, parallèlement à une direction donnée d'un pentagone régulier bien choisi.
Construction géométrique
Fort du résultat précédent, il s’agit de construire sur la parallèle menée de C à AB un point P tel que CP / AB = € (et/ou –1 / €)
B A
K
J I P
C
E
D
Q
Dans l’ordre on construit : I quatrième sommet du parallélogramme ABIC puis J milieu de CI et K comme sommet d’un carré attenant à un carré de base IJ. Le cercle de centre J passant par K coupe alors la droite CI aux points cherchés P et Q.
Le point D est à l’intersection de BI avec la parallèle menée de P à BC. Idem pour obtenir le point E.
