D1906. Un carrefour sans giratoire
Dans un triangle ABC acutangle les points O et H désignent le centre du cercle circonscrit (Γ) et l’orthocentre. Le point D est diamétralement opposé au point A sur (Γ).
La perpendiculaire menée de H à la bissectrice (Δ) de l’angle en A coupe la droite (AB) au point P.
La perpendiculaire menée de P à la droite (AB) coupe la droite (Δ) au point Q.
On trace respectivement sur les demi-droites AB et AC les points S et T tels qu'on a les égalités d'angles: <SOD = <DOT = <BAC.
Démontrer que les droites (HQ) et (ST) sont perpendiculaires et se rencontrent en un point de la droite (BC) que l'on déterminera.
Je choisis de repérer les points par leurs affixes complexes, le cercle (Γ) étant le cercle unité. On suppose B et C symétriques par rapport à l'axe Ox, de sorte que la bissectrice de  passe par le point (1, 0). On sait que si module de z=1 on a z = 1/z, et que l'équation d'une droite passant par deux points A(a), B(b) tels que │a│ = │b│=1 est : z=a+b – ab z ou bien z = (a+b – z)/(ab) . Un nombre z est réel si z – z = 0, il est imaginaire pur si z + z = 0.
Soit M le milieu de BC, et H' le point de (Γ) symétrique de H par rapport à BC. Les droites BC et H'D sont parallèles donc M est aussi le milieu du segment HD.
Pour prouver que la droite (HQ) passe par M, il suffit de vérifier que Q,M, D sont alignés.
Partons de A(a), B(b), C( b ), H(h) avec h=a+b+ b , D(-a), M(m) m=(b²+1)/(2b), P(p), Q(q).
PH est perpendiculaire à Δ, donc (p-h)/(a+1) est réel , (p-h)/(a+1) – ((p−h)/(a+1)) = 0 (p – h)(1/a+1) – (p−h) (a+1) = 0,
P est sur AB donc p = (a+b – p)/(ab), h = (a+b)/(ab) + b, (p−h) = – p/(ab) – b.
On trouve p = [b²+1+ab(1-b)]/(b+1). D'où p = [a(b²+1)+b-1]/[ab(b+1)].
PQ est perpendiculaire à AB donc l'affixe q de Q vérifie : (q-p)/(a+b) est réel ,
(q-p)(1/a+1/b) – (q−p) (a+b) = 0, Q sur la bissectrice de  donc q = (1-q)/a + 1 q-p = ab (q−p) , q-p = ab{(1-q)/a + 1 – [a(b²+1)+b-1]/[ab(b+1)] }
On trouve q = [(2(b²+1) – a(b-1)²] / (b+1)² . Voyons si (q+a)/(m+a) est réel : m+a = (b²+1)/(2b) +a = (b²+2ab+1)/(2b),
q+a = ((2(b²+1) – a(b-1)²) / (b+1)² +a = 2(b²+2ab+1)/(b+1)²
(q+a)/(m+a) = 4b/(b+1)² est invariant par b→1/b donc réel, QMD sont alignés et HMD sont alignés donc la droite (HQ) coupe le segment BC en son milieu M.
Soit s l'affixe de S .
Angle DOS = Angle CÂB donc arg(s/d) = arg [(b-a)/(1/b – a)], s(1/b – a)/(a(b-a)) est réel s(1 – ab) / (ab(b – a)) est réel, s(1 – ab) / (ab(b – a)) = s ab(ab – 1)/ (a-b), s = a²b² s Mais S est sur AB donc s = 1/a+1/b – s/(ab) = (a+b – s)/(ab), s = a²b²(a+b – s)/(ab), On trouve s = ab(a+b) / (ab+1) et, en remplaçant b par 1/b : t = a(ab+1) / (b(a+b))
puis s – t = a(b²-1)(b²+2ab+1) / [b(a+b)(ab+1)]
D'autre part m – d = (b + 1/b)/2 + a = (b²+2ab+1)/(2b) (s−t)/(m−d) = 2a(b²-1) / [(a+b)(ab+1)] .
La substitution a→1/a et b→1/b permet de constater que ((s−t)/(m−d)) = – (s−t)/(m−d) (s – t)/(m – d) est imaginaire pur donc les droites ST et HQ sont perpendiculaires.
La droite ST passe-t-elle par M ?
(s-t)/(s-m) est il réel ? (s – t) = a(b²-1)(b²+2ab+1) / [b(a+b)(ab+1)]
(s – m) = ab(a+b) / (ab+1) – (b²+1)/(2b) = (ab – 1)(b²+2ab+1) /(2b(ab+1))
(s−t)/(s−m) = 2a(b²-1) / [(a+b)(ab – 1)] est invariant par (a→1/a , b→1/b ) ((s−t)/(s−m)) = (s-t)/(s-m), les points S,T,M sont alignés,
donc la droite (ST) coupe le segment BC en son milieu .
Les droites (HQ) et (ST) sont perpendiculaires et se rencontrent au milieu du segment (BC) .
