D1840 ‒ Cocyclité à répétition [* à ***** à la main]
Dans un triangle ABC acutangle,on trace le centre de gravité G, les milieux I,J,K des côtés BC,CA et AB ainsi que le pied D sur BC de la hauteur issue de A.
Q₁ On trace sur la droite [AD] un point E tel que D est situé entre A et E. Démontrer que les points symétriques de D par rapport aux quatre côtés du quadrilatère ABEC sont sur un même cercle.
Q₂ On désigne par P et Q les centres de gravité des triangles ABD et ACD. Les droites [BQ] et [CP] se rencontrent en un point X.La droite [AX] coupe la droite [BC] en un point R. Démontrer que les quatre pointD,P,Q,R sont sur un même cercle.
Q₃ Démontrer que les six centres des cercles circonscrits aux triangles AGJ,AGK,BGI,BGK,CGI,CGJ sont sur un même cercle.
Solution proposée par Bernard Vignes Q₁
Soient U,V,W et X les projections de D sur les côtés AB,BE,EC et CA du quadrilatère ABEC.
Les symétriques de D par rapport à ces côtés déterminent le quadrilatère U'V'W'X' homothétique du quadrilatère UVWX dans une homothétie de centre D et de rapport 2.
Dès lors les quatre points U',V',W' et X' sont cocycliques si et seulement si les quatre points U,V,W et X sont eux-mêmes cocycliques.
Avec les angles droits en U,V,W et X, les 4-uples (A,U,D,X), (B,U,D,V), (D,V,E,W) et (C,W,D,X) sont tous les quatre coycliques. On en déduit les relations d'angles:
BAD = UXV,ABD =UVX,CED =WVX,DCE =VXW.
D'où : UVE = UVX + WVX = ABD + CED et UXW = UXV + VXW = BAD + DCE.
Or ABD + BAD = CED +DCE = 90°,d'où UVE + UXW = ABD + CED + BAD + DCE = 180°
C.q.f.d.
Q₂
Par construction DP = 2DK/3 et DQ = 2DJ/3. La droite [PQ] est donc parallèle à la droite [KJ] elle-même parallèle à la droite [BC]. Le triangle DPQ est donc semblable au triangle DJK, donc au triangle ABC avec le ratio DP/AB = DQ/AC = PQ/BC = 2/3*1/3 = 1/3.
On trace le cercle circonscrit au triangle DPQ qui coupe le côté BC en un deuxième point R' tel que DR' = 2DI/3. Le triangle R'QP est congruent au triangle DPQ avec
le côté PQ commun et les égalités d'angles PR'Q = PDQ et QPR' = PR'D = PQD.
Les triangles R'QP est donc homothétique au triangle ABC dans une homothétie de rapport 1/3 et dont le centre, à l"intersection des droites AR',BQ et CQ, est le point X.
Le point R est donc confondu avec le point R' et les quatre points D,P,Q,R sont cocycliques et se trouvent sur le cercle homothétique du cercle d'Euler du triangle ABC dans une homothétie de centre D et de rapport 2/3.
Q3
On désigne par O₁,O₂,O₃,O₄,O₅,O₆ les six centres des cercles circonscrits respectivement aux triangles BGK,BIG,AGK,AGJ,CGI et CGJ.
Les droites [O₁O₂] et [O₃O₄] se coupent au point L et les droites [O₁O₅] et [O₄O₆] au point M. La parallèle menée de C à la médiane [BJ] coupe la médiane [AI] au point N.
On va démontrer que les quatre points O₁,O₂,O₃ et O₄ sont cocycliques. Les mêmes démonstrations faites avec les points d' indices (2,3,4,5) puis (3,4,5,6) permettent alors de conclure à la cocyclité des six points.
Lemme n°1:LO₁/LO₄ = AI/BJ
Les droites [O₁O₂] et [O₄O₆] d'une part, [O₅O₁] et [O₃O₄] d'autre part, parallèles deux à deux, déterminent le parallélogramme LO₁MO₄. Comme ces droites sont respectivement médiatrices des segments BG,GJ,GI,AG on en déduit que:
LO₁ /LO₄ = rapport des distances entre ces droites prises deux à deux soit LO₁ /LO₄ = (AG + GI)/2 / (BG+GJ)/2 = AI/BJ.
Par ailleurs on a les relations d'angles LO₂O₃ = BGK et LO₃O₂ = AGK.
D'où O₂LO₃ = BGI.
Lemme n°2: LO₂/LO₃ = BJ/AI
On considère le triangle CGN.CN étant parallèle à BG et I étant milieu de BC, on a NC = BG = 2BJ/3 et NG = 2GI = 2AI/3.
D'autre part CNG = BGI et CGN = AGK. Les deux triangles LO₂O₃ et NCG sont donc semblables. D'où LO₂/LO₃ = NC/NG = BJ/AI.
D'après les deux lemmes, il en résulte que LO₁*LO₂ = LO₃*LO₄. Cette relation exprime la puissance du point L par rapport au cercle circonscrit aux quatre points O₁,O₂,O₃ et O₄.
C.q.f.d
