La parallèle au côté AB passant par P coupe la parallèle au côté AC passant par Q au point R

(1)

D1990. Un zeste de calcul

Soit un triangle ABC dont les côtés BC,CA et AB ont pour longueurs a,b,c. Les points P et Q sont les projections orthogonales de B et de C sur la bissectrice intérieure (L) de l’angle en A. La parallèle au côté AB passant par P coupe la parallèle au côté AC passant par Q au point R. Soit S le point symétrique de R par rapport à (L). Calculer la longueur du segment AS en fonction de a,b,c.

Soient A(0,0), B(w,0) et C(u,v).

On a : = + = − +

= ⇒ =

=

L'équation de la droite AB est : y=0 = L'équation de la droite AC est : =

L'équation de la bissectrice intérieure (L) des droites AB et AC est :

=

+ √+ Les coordonnées de P, projection de B sur (L) sont :

! =1

2 $1 +

√+ %

! =2√+ Les coordonnées de Q, projection de C sur (L) sont :

& =1

2 ' ++ (

& =1 L'équation de la parallèle à AB passant par P est : 2

=

2√+ L'équation de la parallèle à AC passant par Q est :

=

−√+ L'intersection R de ces deux parallèles est : 2

) =+ +

2√+ , ) = 2√+ Les coordonnées de E, projection de R sur (L) sont :

+

+ , = + + √+ + 4√+

, =1

4 $1 +

√+ % Les coordonnées de S, symétrique de R par rapport à (L) sont :

. = + 2 . = D'où 2

AS =1

2 + ( + ) D'où, en exprimant , , en fonction de , , :

12 =3

4 5−6⁴+ 4(7⁴+ 8⁴)

(2)

Les fonctions utilisées (Mathematica):

droite passant par M1(x1,y1) et M2(x2,y2)

9):;<,=1_, 1_, 2_, 2_?: =2 − 1

2 − 1 + 1 −2 − 1

2 − 1 1 (* = + *) Bissectrice de D1: y = m1x + p1 et D2: y = m2x + p2 e = +1ou − 1, interieure ou extérieure

;..,<=Q1_, !1_, Q2_, !2_, ,_?: =Q1 + ,Q251 + Q11 + Q2 1 + ,51 + Q11 + Q2

+!1 + ,!251 + Q11 + Q2 1 + ,51 + Q11 + Q2

(* = + *)

projection orthogonale de M0 x0, y0 sur la droite passant par M1 x1, y1 et M2 x2, y2

!):Y=0_, 0_, 1_, 1_, 2_, 2_?: =0 1 − 2+ 2 −0 + 1 + 1 0 − 2 1 − 2 1 − 2+ 1 − 2

!):Y=0_, 0_, 1_, 1_, 2_, 2_?: =^{Z[ \}Z]Z[\] \[\ Z[Z\[ZZ]Z[ZZ]Z\[\ Z[Z \[\ Z[Z

droite parallèle à (D): y=ax+b passant par M0(x0,y0)

!)=_, _, 0_, 0_?: = − 0 + 0 Intersection des droites (D1): y=a1 x+b1 et (D2): y=a2 x+b2

;^<,)=1_, 1_, 2_, 2_? ≔ −2 − 1 2 − 1

;^<,)=1_, 1_, 2_, 2_?: = −2 − 1

2 − 1 1 + 1 Symétrique de M1 x1, y1par rapport à M0 x0, y0

.Q,<);&=1_, 0_?: = 20 − 1 .Q,<);&=1_, 0_?: = 20 − 1 Distance M1 x1, y1 M2 x2, y2

9;.<^,=1_, 1_, 2_, 2_?: = 2 − 1+ 2 − 1