D607-Construction de quatre triangles dont on connaît respectivement les hauteurs, les bissectrices, les médiatrices, les médianes concourantes entre elles.
Soient D1, D2 et D3 les trois droites concourantes au point O.
1er cas : les trois droites sont les hauteurs d’un triangle.
Soit un point A quelconque de D1. Les perpendiculaires issues de A aux droites D2 et D3 rencontrent D3 et D2 aux point B et C. Le triangle ABC a bien pour hauteurs les droites D1,D2 et D3. On vérifie que tous les triangles obtenus en faisant glisser A sur D1 sont semblables au triangle ABC et ont aussi les droites D1,D2 et D3 pour hauteurs.
2ème cas : les trois droites sont les bissectrices d’un triangle.
Soient H,K et L les pieds des hauteurs dans le triangle ABC qui a été précédemment tracé. Le triangle HKL (appelé triangle orthique) a D1,D2 et D3 pour bissectrices. Vérifions le pour l’angle KHL. Dans le quadrilatère inscriptible OHBL, on a angle OHL = angle OBL et dans le quadrilatère inscriptible OHCK, on a angle OHK = angle OCK. Or angle OBL = angle ABK
= 90° - angle BAC et angle OCK = angle LCA = 90° - angle BAC. D’où angle OHL = angle OHK.
3ème cas: les trois droites sont les médiatrices d’un triangle.
Par A,B et C, on mène les parallèles à BC, AC et AB. Elles se coupent en D,E et F. Le triangle DEF est tel que A, B et C sont respectivement les milieux de EF,DF et DE. En effet par construction ACBF et ABCE sont des parallélogrammes. Il en découle AF = BC = AE. De la même manière BF = AC = BD et CD = AB = CE. Les droites D1,D2 et D3 sont donc les médiatrices des côtés EF, DF et DE.
4ème cas : les trois droites sont les médianes d’un triangle.
Soit S le point symétrique de A par rapport au point O sur la droite D1. Les parallèles menées de S aux droites D2 et D3 coupent D3 en M et D2 en N. Comme SM est parallèle à D2 et que D2 coupe AS en son milieu, D2 coupe également AM en son milieu. Même remarque
s’agissant de D3 qui coupe AN en son milieu. Le triangle AMN a donc bien pour médianes les trois droites D1,D2 et D3.
