D 334. Un rangement hypothétique.
Solution proposée par Michel Lafond
Il s’agit de ranger un parallélépipède rectangle P de dimensions 4 5 18 dans le cube de côté 15.
Plaçons le parallélépipède P = (O,A,B,C,D,E,F,G) dans le repère (O, x, y, z) comme indiqué sur la figure 1 ci-dessous :
O et B sont dans le plan (O, y, z) ; et plus précisément :
Si on pose c1 = 0,67, c2 = 0,56 et r = uyc2 uzc2 , alors dans (O, x, y, z) :
Un vecteur unitaire directeur de OC sera uC = (uxc, uyc, uzc) = (cos(c1) cos(c2) ; sin(c1) cos(c2) ; sin(c2)) Un vecteur unitaire directeur de OB sera uB = (uxb, uyb, uzb) = (0 ; – uzc / r ; + uyc / r)
Un vecteur unitaire directeur de OA sera égal au produit vectoriel uA = uC uB.
On a de toute évidence | uA| = | uB| = | uC| = 1.
De plus le produit scalaire uB . uC est nul donc (uC, uB, uA) est une base orthonormée.
Le parallélépipède P est parfaitement défini si on pose : OA = 4 uA OB = 5 uB OC = 18 uC.
Calculons à 10-3 près les coordonnées des 8 sommets de P.
[Les calculs sont faits avec 10 chiffres significatifs et arrondis ensuite.]
O (xo = 0, yo = 0, zo = 0)
C (xc = 18 cos(c1) cos(c2) ; yc = 18 sin(c1) cos(c2) ; zc = 18 sin(c2)) (11,954 ; 9,470 ; 9,561) r = uyc2 uzc2 = sin2(c1)cos2(c2)sin2(c2) 0,748 donc :
B (xb = 0 ; yb = – uzc / r ; zb = uyc / r ) (0 ; – 3,552 ; 3,519) Par définition du produit vectoriel :
uxa = uyc.uzb – uzc.uyb ; uzc.uxb – uxc.uzb ; uxc.uyb – uyc.uxb) donc : z
A O
B
D
E G F
C
x y
18
4 5
5
4
5 18
4
Figure 1
A (xa = 4 uxa ; ya = 4 uya ; za = 4 uza) (2,991 ; – 1,869 ; – 1,887) OD = OA + OB donc :
D (xd = xa + xb ; yd = ya + yb ; zd = za + zb) (2,991 ; – 5,422 ; 1,631) OE = OA + OC donc :
E (xe = xa + xc ; ye = ya + yc ; ze = za + zc) (14,944 ; 7,601 ; 7,674) OF = OB + OC donc :
F (xf = xb + xc ; yf = yb + yc ; zf = zb + zc) (11,954 ; 5,918 ; 13,080) OG = OA + OB + OC donc :
G (xg = xa + xb + xc ; yg = ya + yb + yc ; zg = za + zb + zc) (14,944 ; 4,049 ; 11,193).
En résumé :
On lit dans le tableau ci-dessus que :
le long de Ox, l’écart maximal entre les coordonnées est xe – xo = xg – xo 14,944 < 15 le long de Oy, l’écart maximal entre les coordonnées est yc – yd 14,892 < 15
le long de Oz, l’écart maximal entre les coordonnées est zf – za 14,967 < 15.
Le parallélépipède P tient donc dans un cube de côté 15, dont les faces sont parallèles à celles du repère (O, x, y, z).
On peut faire en sorte que ce cube contienne les sommets O,A,B,D de la face visible en bas [O et B étant sur la même face "GAUCHE" du cube, A sur la face "BAS" et D due la face "AVANT"].
Dans ces conditions, E et G sont très proches de la face "DROITE" du cube, C est très proche de la face
"ARRIERE" et F très proche de la face "HAUT" comme tente de le montrer la figure 2 ci-dessous.
sommet x y z
O 0 0 0
A 2,991 – 1,869 – 1,887
B 0 – 3,552 3,519
C 11,954 9,470 9,561
D 2,991 – 5,422 1,631
E 14,944 7,601 7,674
F 14,954 5,918 13,080
G 14,944 4,049 11,193
Figure 2 A
O B
D
E G F
C
