D 330.Avec seulement deux distances Solution proposée par Michel Lafond Q1: Je dénombre 6 figures.
Q2 : Essayons de réduire le problème.
Soit (ABCDE) une solution.
Il y a 10 distances entre ces 5 points, et elles prennent exactement deux valeurs qu’on peut toujours supposer être d = 1 pour la petite et > 1 pour la grande.
Codons la solution (ABCDE) à l’aide du 10-uplet des distances dans l’ordre AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE.
Ainsi, la solution de la figure 1 ci-dessous avec 1,309 (segments en gras) composée de deux tétraèdres égaux accolés par leur face commune (ADE) sera codée [1, 1, , , , 1, 1, 1, 1, ].
Un programme informatique permet d’envisager les 210 = 1024 possibilités de codages.
Mais dans le problème, on s’intéresse évidemment aux solutions non "étiquetées" A, B, C, D, E.
Or, pour chaque possibilité [a, b, c, d, e, f, g, h, i, j] il y a 5 ! = 120 étiquetages possibles des 5 sommets.
Il faut donc s’assurer que les codes sont différents lorsqu’on oublie l’étiquetage.
Pour plus de commodité, la petite distance est codée 1, et la grande est codée 2 dans le programme.
Des 1024 possibilités a priori, l’ordinateur n’en sélectionne que 34. On peut éliminer les codes [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1] et [2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2] qui ne respectent pas les conditions.
Il reste les 32 codes ci-dessous. Le code de la figure 1 est l’avant-dernier.
[1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2], [1, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2], [1, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 1, 2], [1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 2], [1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 2], [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2], [1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2], [1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 2], [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2], [1, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2], [1, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 2], [1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2], [1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2], [1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 2], [1, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 2], [1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2], [1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2], [1, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 2], [1, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2], [1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2], [1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2], [1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 2], [1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2], [1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2], [1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 2], [1, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 2], [1, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 2], [1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2], [1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2], [1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2], [1, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 2], [1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2].
Les 5 codes en gras correspondent à des configurations impossibles pour diverses raisons.
A
B
C D
E
Figure 1
Il reste 32 – 5 = 27 configurations. Le tableau ci-dessous donne leurs caractéristiques, avec un étiquetage permettant de les dessiner éventuellement. Les dessins sont à la fin.
La petite distance est prise pour unité. La grande distance est notée .
Il y a deux désignations pour les figures, celle de Jean Moreau de Saint-Martin et la mienne(F**).
Jean Moreau de Saint-Martin n’a pas donné de nom à F8 qui est la seule figure dans laquelle 9 distances sur 10 sont égales. Le type correspond à (k, 10-k) où k est le nombre de petites distances.
Figure type AB AC AD AE BC BD BE CD CE DE
à 10-3 près remarque
2b1 F1 8-2 1 1 1 1 1 1 1 1 1,651 = (3 + 6 ½) / 2 3d1 F2 3-7 1 1 1 1,926 = [(17 + 161½) / 8] ½
5b1 F3 5-5 1 1 1 1 1 1,380
3b2 F4 7-3 1 1 1 1 1 1 1 1,906 = [2 + (8/3) ½] ½ 3c1 F5 7-3 1 1 1 1 1 1 1 1,618 = (1 + 5 ½) / 2
3a F6 7-3 1 1 1 1 1 1 1 1,500 = 3 / 2
5d F7 5-5 1 1 1 1 1 1,618 = (1 + 5 ½) / 2 F8 9-1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1,633 = (8 / 3) ½
4d1 F9 4-6 1 1 1 1 1,501
4e1 F10 4-6 1 1 1 1 1,855
4b F11 4-6 1 1 1 1 1,633 = (8 / 3) ½
4e2 F12 6-4 1 1 1 1 1 1 1,675
4a1 F13 4-6 1 1 1 1 1,414 = 2½
3b1 F14 3-7 1 1 1 1,651 = (3 + 6 ½) / 2 5a2 F15 5-5 1 1 1 1 1 1,705
4c2 F16 4-6
4c’2 1 1 1 1 1,548 Existe en deux versions
chirales = (5 + 21 ½) / 4 3c2 F17 3-7 1 1 1 1,618 = (1 + 5 ½) / 2
4c1 F18 6-4 1 1 1 1 1 1 1,414 = 2 ½
3d2 F19 7-3 1 1 1 1 1 1 1 1,362 = [(17 161½) / 32] ½ 4d2 F20 6-4 1 1 1 1 1 1 1,514
2a F21 8-2 1 1 1 1 1 1 1 1 1,414 = 2 ½
5b2 F22 5-5 1 1 1 1 1 1,578
5c F23 5-5 1 1 1 1 1 1,618 = (1 + 5 ½) / 2 2b2 F24 2-8 1 1 1,906 = [2 + (2/3)6 ½] ½ 5a1 F25 5-5 1 1 1 1 1 1,705 = [(13 + 105½) / 8] ½
4f F26 6-4 1 1 1 1 1 1 1,309 = (12 / 7) ½
4a2 F27 6-4 1 1 1 1 1 1 1,871 = (7 / 2) ½
On reconnaît dans les valeurs de quelques nombres remarquables comme 2 1,414...ou le nombre d’or 1,618...
2 5
1
5c - F23 est le pentagone régulier (seule figure plane de la série).
On imagine facilement des généralisations à cet intéressant problème :
Plus de points. Plus de distances différentes acceptées. Plus de dimensions pour l’espace de recherche.
C’est assez vertigineux…
Ci-dessous les 28 figures :
La petite distance est d = 1 et la grande est > 1 elle est dessinée en gras.
C
2b1 F1 1,651 ADE et ABC plans de symétrie type 8-2
A
B
D
E
3d1 F2 1,926 3 triangles isocèles égaux de côté commun CE
DB est perpendiculaire au plan de symétrie ACE
type 3-7 A
C D
E B
5b1 F3 1,380 type 5-5
A B
C D
E
3b2 F4 1,906 ABCD tétraèdre régulier, E extérieur type 7-3
A
B
C D
E
A
C E
B D
3c1 F5 1,618
BCED sont 4 sommets d’un pentagone régulier, A est au-dessus
type 7-3
5d F7 1,618
ABED sont 4 sommets d’un pentagone régulier. C est au-dessus
type 5-5 C
A B
D E
F8 1,633 Deux tétraèdres réguliers accolés par leur face commune ABC.
DE axe de symétrie type 9-1
B C
D
E A
4e1 F10 1,855 A est à l’intérieur du tétraèdre BCDE type 4-6
D
B
A E
C
4b F11 1,633 A est le centre du tétraèdre régulier BCDE
type 4-6 D
C
A E
B
4d1 F9 1,501 ACE est plan de symétrie et médiateur de BD
type 4-6 C
E
A B
D
3a F6 = 1,500 CDE est équilatéral et plan de symétrie Les tétraèdres ACDE et BCDE sont égaux type 7-3
D
A
C
E B
4e2 F12 1,675 BAE est plan médiateur de CD type 6-4
A
C
D E
B
E
A
B
D
C
4a1 F13 1,414 ABDC est un carré
type 4-6
3b1 F14 1,651 BCDE est tétraèdre régulier
AE est axe de symétrie type 3-7
D
E
A C
B
5a2 F15 1,705 A est à l’intérieur du tétraèdre BCDE ABC est plan de symétrie et médiateur de DE
type 5-5 D
B
A E
C
4c2 et 4c’2 F16 1,548 Existe en deux versions symétriques par rapport au plan ADE.
ABC et ADE ont un axe de symétrie commun : Ax
type 4-6 C
D
A E
B
x
3c2 F17 1,618 ACDB sont 4 sommets d’un pentagone régulier. E est au-dessus type 3-7
C
B A
E
D
D
A
C
E
B
4c1 F18 1,414 ACEB est un carré
type 6-4
4d2 F20 1,514 CDE est plan médiateur de AB type 6-4
E
D
C B
A
A
B
E
C
2a F21 1,414 C’est un demi-octaèdre régulier type 8-2
D
3d2 F19 = 1,362 ADE est plan de symétrie
type 7-3 E
B
C
A D
A
B
C D
E
4f F26 1,309 BC axe de symétrie
ADE plan de symétrie type 6-4
5b2 F22 1,578 ACE est plan médiateur de BD type 5-5
C
E
A B
D
5a1 F25 1,705 CDE plan de symétrie
type 5-5 E
A
C
B D
2b2 F24 1,906 ABC plan médiateur de DE.
BCDE tétraèdre régulier type 2-8
E B
D
C A
4a2 F27 1,871
ABD et AEC sont deux triangles équilatéraux situés dans des plans perpendiculaires, et ayant un axe de symétrie commun passant pas A.
type 6-4 A
B
D C
E A
D C
E
5c F23 1,618 Pentagone régulier
type 5-5 B
