Enoncé B138 (Diophante) Carré magique géométrique
Justifier l’existence d’un carré “magique” pouvant être partagé par 4 seg- ments en 9 quadrilatères dont les aires sont exactement 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13. (Figure approximative ci-dessous)
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
D’aire totale 81, le carré est de côté 9. Je prends pour axes ses médiatrices, ainsi le carré est délimité par les droites x=±9/2,y =±9/2.
Je note les segments de partage D (sub-vertical, à droite), G (sub-vertical, à gauche), H (sub-horizontal, en haut) et B (sub-horizontal, en bas). Dans la disposition indiquée, chacun forme avec le côté voisin du carré un trapèze rectangle d’aire 27 ; ainsi le milieu du segment est à distance 3 du côté du carré et à distance 3/2 de son centre.
La configuration est alors définie par les pentesd, g, h, b des segments par rapport au côté voisin, comptées positivement dans le sens trigonomé- trique : b etdsont positives sur le schéma,g eth négatives.
D et H se coupent en (x, y) satisfaisant x= 3/2−dy,y = 3/2 +hx, d’où (1−d)/x= (1 +h)/y= 2(1 +hd)/3.
L’aire délimitée par les segments D et H se compose de deux triangles de sommet (x, y) et de bases 3−9h/2 sur x = 9/2 et 3 + 9d/2 sur y = 9/2.
C’est donc (9/2−x)(3−9h/2)/2 + (9/2−y)(3 + 9d/2)/2 =
= 9(8 + 6hd+ (9hd+ 8)(d−h))/(8 + 8hd).
Cette aire étant 12, les paramètres deth sont liés par la relation
8(1 +hd)12 = 9(8 + 6hd+ (9hd+ 8)(d−h)), d’où (d−h)(27hd+ 24) = 8 + 14hd.
Un décalage d’un quart de tour conduit, pour l’aire 8 délimitée par G et H, à 8(1 +gh)8 = 9(8 + 6gh+ (9gh+ 8)(h−g)),
d’où (h−g)(81gh+ 72) = 10gh−8.
De même pour l’aire 6 délimitée par G et B :
8(1 +bg)6 = 9(8 + 6bg+ (9bg+ 8)(g−b), d’où (g−b)(27bg+ 24) =−2bg−8.
Et enfin pour l’aire 10 délimitée par B et D :
8(1+db)10 = 9(8+6db+(9db+8)(b−d), d’où (b−d)(81db+72) = 8+26db.
Pour résoudre ce système de 4 équations de degré 3 à 4 inconnues, j’ai opéré par tâtonnements : partant d’une valeur estimée ded, on en tire la valeur de hassurant l’aire 12, la valeur degassurant l’aire 8, la valeur debassurant l’aire 6 ; chacun des trinômes en h, g, b a deux racines ; l’appartenance à l’intervalle (−2/3,2/3) lève l’ambiguïté ; l’aire délimitée par B et D avec ces paramètres, comparée à 10, donne un signal d’erreur pour l’ajustement ded.
Le meilleur ajustement semble obtenu avecd= 0,135438271, donnanth=
−0,192305133, g=−0,085451743, b= 0,254380554, et l’aire 10 à mieux que 10−10 près, pour autant que mon tableur atteigne cette précision.
