Enoncé D1971 (Diophante)
Dans le petit soulier de Diophante
On donne un triangleABC. Pour tout pointM autre queA,B,Con trace les cercles (M BC), (M CA), (M AB). Ils recoupent les côtés du triangle en respectivement Ab etAc;Bcet Ba;Ca etCb. Pour certains points M les trois droites (AbAc), (BcBa), (CaCb) ont un point commun que l’on noteraN. Que peut-on dire de l’ensemble des points N?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
La puissance de Apar rapport à (M BC) estPA=AB·AAb=AC·AAc. L’inversion de pôle A, de puissance PA, transforme la droite AbAc en le cercle (ABC) circonscrit au triangle. AinsiAbAcest parallèle à la tangente en A à (ABC) ; celle-ci est la position limite de AbAcquand M tend vers un point de (ABC), auquel cas (M BC) vient se confondre avec (ABC).
Je caractérise le point M par les anglesα= (M B, M C), β= (M C, M A), γ = (M A, M B) avec α+β+γ= 0 (mod 2π).
M, B, C, Ab, Ac sont cocycliques, d’où (AbB, AbC) = (AcB, AcC) = α et par la loi des sinus
BAb
BA = BAb
BC ·BC
BA = sin(α+B)
sinα ·sinA sinC, et de même AAb
AB = AAb
AC ·AC
AB = sin(α−A)
sinα ·sinB sinC.
Le pointAb admet donc les coordonnées barycentriques (de baseA, B, C) Ab(sin(α+B) sinA,sin(α−A) sinB,0)
et de même Ac(sin(α+C) sinA),0,sin(α−A) sinC).
La droite AbAc admet pour équation
x y z
sin(α+B) sinA sin(α−A) sinB 0
sin(α+C) sinA 0 sin(α−A) sinC
= 0 soit, développant et divisant par sinAsinBsinC
x(cotα−cotA) +y(cotα+ cotB) +z(cotα+ cotC) = 0.
cotα= xcotA−ycotB−zcotC x+y+z .
On obtient de même les équations des droitesBcBa etCaCb : cotβ = ycotB−zcotC−xcotA
x+y+z , cotγ = zcotC−xcotA−ycotB x+y+z . Cela permet d’associer à un point N(x, y, z) les arcs capables tels que BAbAcC déterminés par la parallèle menée de N à la tangente en A à (ABC).
Ces trois arcs capables seront concourants en M si α + β + γ = 0 (mod 2π), soit cotβcotγ+ cotγcotα+ cotαcotβ= 1.
Substituant en fonction dex, y, z on obtient l’équation du lieu de N x2
sin2A + y2
sin2B + z2
sin2C + 2yzcosA
sinBsinC + 2zxcosB
sinCsinA + 2xycosC sinAsinB = 0.
C’est une conique, dont on voit immédiatement qu’elle n’a pas d’intersec- tion réelle avec les côtés du triangle.
Son centre est le point de Lemoine L(sin2A,sin2B,sin2C), point de concours des symédianes ; on vérifie en effet que la polaire de ce point a pour équation 0 =x+y+z+ cosA(ysinC/sinB+zsinB/sinC) + + cosB(zsinA/sinC+xsinC/sinA) +
+ cosC(xsinB/sinA+ysinA/sinB) = 2(x+y+z), c’est la droite de l’infini.
L’intersection avec la droite de l’infinix=−y−z conduit à l’équation ysin2C−zsin2B
ysin2C−zsin2B
!2
=−cosA·sin2A+ sin2B+ sin2C 2 sin2AcosBcosC .
Ainsi les points à l’infini sont réels (la conique est une hyperbole) si cosAcosBcosC <0, le triangle ABC est obtusangle.
Si le triangle ABC est acutangle, la conique est une ellipse, le premier membre de son équation ne change pas de signe entre le centre et l’in- fini, ce qui dénote une ellipse entièrement imaginaire. Les trois droites ne sont jamais concourantes. Cela vaut aussi siABC est rectangle (enApar exemple), l’équation du lieu devenant (x+y+z)2+y2cot2B+z2tan2B = 0.
Remarque. Le lieu de M est une courbe du 4e degré dont l’équation s’éta- blit comme suit.
Soient u, v, w les coordonnées d’un point de (M BC). Elles satisfont vwsin2A+wusin2B+uvsin2C
u(u+v+w) = constante, soit (avec les coordonnées de Ab) = sinAsinBsinC(cotA−cotα),
puis, tirant α des coordonnées (x, y, z) de N, = ysin2C+zsin2B x+y+z . Le point M(u, v, w) d’intersection des arcs capables est lié à N par
vwsin2A+wusin2B+uvsin2C
u+v+w (x+y+z) = u(ysin2C +zsin2B) = v(zsin2A+xsin2C) =w(xsin 2B+ysin2A).
Oubliant le premier membre, on a un système linéaire en x, y, z qui se résout en
sin2B
v +sin2C
w −sin2A u
!sin2A
x = sin2C
w +sin2A
u −sin2B v
!sin2B y =
= sin2A
u +sin2B
v −sin2C w
!sin2C z .
Substituant dans l’équation du lieu de N, on obtient cosAsin3A
u2 +cosBsin3B
v2 +cosCsin3C w2 = 0.
Mise sous forme entière, cette équation comporte les monômes v2w2, w2u2, u2v2, qui s’annulent en A, B, C ainsi que toutes leurs déri- vées partielles du 1er ordre. Les pointsA, B, C sont des points doubles de la courbe.
Les deux autres points communs avec le cercle (ABC) sont les points cycliques : le point I(−sinA, eiCsinB, e−iBsinC), et J son imaginaire conjugué.
Les autres points à l’infini sont donnés par utanA−vtanB
u+v
2
=−sin2A+ sin2B+ sin2C 4 cosAcosBcosC .
Ils sont réels seulement siABC est obtusangle.
Le faisceau des tangentes au point double A (v et w infiniment petits devantu) a pour équationw2cosBsin3B+v2cosCsin3C = 0, et est réel seulement siB ou C est un angle obtus.
