Enoncé D1897 (Diophante) Six preuves sans mots
Répondre aux six questions suivantes : - en excluant toute formule trigo- nométrique, - en utilisant, si besoin est, les quatre opérations élémentaires (+, – , x et /) - en donnant pour seules preuves (sans mots) les figures ci-après dûment complétées.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Q1 ABCDest un carré de côtéAB= 5.E est un point courant deBC,F surCD et angle EAF = 45°. Quelle est la valeur maximale du périmètre du triangleCEF ?
périmètreCEF =HE+EC+CF +F H =BE+EC+CF+F D = 10, indépendant du choix deE.
Q2 ABCD est un carré dans lequel est inscrit le triangle pythagoricien DEF (3,4,5) avec E sur AB et F sur BC. Quelle est l’aire du carré ABCD arrondie à l’entier le plus proche ?
L’aire 16 du carré de côté DE couvre 4 triangles égaux à ADE (chacun couvre 1/8 du carréABCD) et un carré de côté égal àEB = 3AD/4, soit ensemble 1/2 + 9/16 = 17/16 de l’aire du carréABCD.
Donc aire DA2 = 256/17 = 15 + 1/17 soit 15 pour l’entier le plus proche.
Q3 ABCD est un quadrilatère tel que BA=BC, angle ABD=x, angle ADB= 3x, angleCBD= 3xet angleBDC = 5x. Que vautxen degrés ?
ABC isocèle d’où angles 90−2x en AetC. (CB, CD) = 180−8x d’où (CA, CD) = 90−6x. La bissectriceBE est médiatrice deAC, par symétrie (AE, AC) = (CA, CE) = 90−6x.
(AB, AE) = (180−4x)−(90−2x)−(90−6x) = 4x.
DansABE,AD etBDsont bissectrices, donc aussi ED,
(EA, ED) = (ED, BE) = 6x, et en E 3 angles 6x font 180°,x= 10°.
Q4 Tracer à la règle et au compas le cercle (Γ) qui passe par les sommetsA et C d’un triangleABC et qui coupe les côtésBC etAB respectivement aux points Det E de sorte queAE =BD.
Tracé : AF =AB, AF//CB, E =F C ∩AB, (Γ) circonscrit au triangle ACE.
Triangles BAD etBCE semblables à retournement près, Triangles BAD etEAF égaux à retournement près,.
Q5 ABCD est un quadrilatère dont l’angle enB est droit,M est le milieu du côtéCD et l’angleBADest égal à l’angleCBM. Si angleBAC= 25°, que vaut l’angleDBM?
EHprojection deCM surAD,A, B, C, E cocycliques (cercle de diamètre AC), dansBDE BH est médiane et hauteur donc bissectrice.
6 BAD=6 CBM ⇒6 DBM =6 BAC, donc réponse 25°.
Q6 ABCDest un carré. Qest un point du quart de cercle de centreB et de rayon BC = 5 tel que le demi-cercle de diamètreCQest tangent en P au côté AB. Quelle est la longueur du côtéBC?
5 =BG=BH =P O =CO= 2BM = 2M H = 2M E; COB etCHO semblables ; 25 =CO2 =CB.CH =CE2; M C2 =CE2+M E2= 125/4 ; M C =M G= 5√
5/2 ; BC =BM +M C = 5(1 +√
5)/2.
Remarque
J’ai beaucoup hésité à proposer ce travail comme réponse à l’énoncé. On peut en effet lui reprocher de comporter des mots en plus des figures.
Une preuve, c’est pour moi le cheminement qui conduit de l’énoncé au résultat ; donc des étapes de justification qui s’enchaînent, sauf voie royale menant droit au but, mais c’est rarement le cas avec les énoncés énigma- tiques concoctés par Diophante.
Au-delà de l’intuition que peut donner une figure, sa force probante vient du parcours qu’on fait dans ses éléments pour les articuler en raisonnement.
Présenter les éléments de la preuve en une figure, si enrichie en complé- ments qu’elle soit, c’est comme le jeu d’esprit consistant à reconstituer quatre phrases dont les mots sont épars sur la page : la preuve est à re- construire par le lecteur, c’est elle-même, faute de mots, une énigme. Un guide de lecture de la figure m’a paru justifié.
