A816 – Avec modération...
Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin On considère la suite xn définie par :
n 1
n n n 1 n n 1 n 2
12119 22204 12108 x 2024
x x x x x x
avec x₀ = 8358 8051 , x₁ =
1506
1393 et x₂ = 294 251 Q₁ Calculer les valeurs exactes de x₃, x₄ et x₅.
Q₂ Quand n tend vers l'infini calculer la limite de la suite xn.
Nota: Le recours à un automate n'est pas interdit, mais avec modération pour ne pas se laisser griser
Solution par Patrick Gordon Q₁
Les valeurs numériques étant élevées, on se méfiera de l'usage d'un tableur qui, par la force des choses, opère avec un nombre fini de chiffres significatifs et peut ainsi accumuler les
imprécisions.
Pour mémoire, voici les valeurs que donne Excel :
0 1,0381319 1 1,0811199 2 1,1713147 3 1,3469388 4 1,6363636 5 2,0000003 6 2,3336087 7 2,8094824 8 173,69916 9 1989,0974 10 2017,9591 11 2017,9999
12 2018
13 2018
14 2018
À l'évidence, le brusque saut de n = 7 à n = 8 et la stagnation à 2018 sont suspects.
On fera donc les calculs par fractions. On obtient :
x3 = 66/49 x4 = 18/11 x5 = 2 x6 = 7/3 x7 = 18/7 x8 = 49/18
On constate que, pour 3 rangs consécutifs, le numérateur de xn devient le dénominateur de xn+1. Si cette propriété a une raison d'être, on peut, en reprenant le tableur avec les valeurs exactes et en extrapolant sur une courte séquence, conjecturer les valeurs suivantes :
x9 = 138/49 x10 = 397/138 Q2
Pour étudier le comportement asymptotique, on peut opérer le changement de variable y(n+1) = xn
yn et se ramener à l’analyse d’une relation linéaire de récurrence sur yn. On a :
xn+1 = yn+2 / yn+1
1 / xn = yn / yn+1 1 / xn-1 = yn-1 / yn
1 / xn-2 = yn-2 / yn-1
D'où :
1 / xn xn-1 = yn-1 / yn+1 1 / xn xn-1 xn-2 = yn-2 / yn+1
La relation de récurrence des xn s'écrit donc :
yn+2 / yn+1= 2024 – 12119 yn / yn+1+ 22204 yn-1 / yn+1 − 12108 yn-2 / yn+1
Soit encore :
yn+2 = 2024 yn+1 – 12119 yn + 22204 yn-1 – 12108 yn-2
C'est une relation de récurrence linéaire d'ordre 4 des seuls yn. Il faut étudier les racines de son polynôme caractéristique
r4 − 2024 r3 + 12119 r2 − 22204 r + 12108
On voit aisément que ce polynôme s'annule pour r = 1, 2, 3. Le produit des racines étant 12018, il s'annule aussi pour 2018.
La forme générale de yn est donc :
yn = 1n A + 2n B + 3n C + 2018n D
La suite yn est définie à un facteur multiplicatif près. On peut donc fixer arbitrairement y0, soit, pour faciliter les calculs : y0 = 8051. Il en résulte :
y1 = x0 y0 = 8358
y2 = x1 y1 = 8358 × 1506/1393 = 2².3².251 = 9036 y3 = x2 y2 = 9036 × 294 / 251 = 23.33.7² = 10584 D'où les 4 équations en A, B, C, D :
y0 = A + B + C + D = 8051 y1 = A + 2B + 3C + 2018 D = 8358 y2 = A + 4 B + 9C + 20182 D = 9036 y3 = A + 8 B + 27C + 20183 D = 10584
En soustrayant la première de chacune des trois autres, il vient :
B + 2C + 2017 D = 307 3B + 8C + (2018²-1) D = 985 7B + 26C + (20183-1) D = 2533 En éliminant B, il vient :
2C + (2018²-1-3×2017) D = 64 12C + (20183-1- 7×2017) D = 384
En multipliant par 6 la première équation, il vient :
12C + 6(2018²-1-3×2017) D = 384 12C + (20183-1- 7×2017) D = 384 D'où il résulte que D = 0 et C = 32
En reportant dans la différence des deux premières équations, il vient : B + 64 = 307
donc B = 243
Et enfin, en reportant dans la première : A + 243 + 32 = 8051
donc A = 7776
La forme générale de yn est donc (à un facteur multiplicatif près – ce qui n'a aucune incidence sur les xn) :
yn = 7776 + 243×2n + 32×3n
A noter que l'on retrouve bien la valeur y0 = 8051, que nous avons prise comme point de départ.
Reste à passer à xn car yn n'est qu'une variable auxiliaire.
On se rappelle que xn = yn+1 /yn. Il vient donc :
xn = (7776 + 243×2n+1 + 32×3n+1) / (7776 + 243×2n + 32×3n) Ainsi, quand n tend vers l'infini, la limite de la suite xn est 3.
