A816. Avec mod´ eration...
Valeurs dex0 `ax14:
Num´erateur D´enominateur Ratio
0 8358 8051 1.03813
1 1506 1393 1.08112
2 294 251 1.17131
3 66 49 1.34694
4 18 11 1.63636
5 2 1 2
6 7 3 2.33333
7 18 7 2.57143
8 49 18 2.72222
9 138 49 2.81633
10 397 138 2.87681
11 1158 397 2.91688
12 3409 1158 2.94387
13 10098 3409 2.96216
14 30037 10098 2.97455
Ces valeurs ont ´et´e obtenues une `a la fois par un programme de calcul en nom- bres entiers avec simplification `a la main des rationnels.
Je constate `a partir dex6que le num´erateur dexndevient le d´enominateur de xn+1. Et le nouveau num´erateur suit apparemment la r´ecurrence suivante : n0= 7,a0 = 3,
nn= 3nn−1−an, avecan= 2an−1−1 Et dans ce cas, la limite quandn→ ∞est 3.
En effectuant le calcul avec la repr´esentation en nombres r´eels (pr´ecision10−17), le r´esultat diverge de la valeur exacte d`es le 6`eme terme, et par chance cela per- met de d´ecouvrir que la valeur2.018est stable : sixn−3,xn−2etxn−1valent 2.018, alorsxnvaut aussi 2.018.
En fait, la valeur limite 3 n’est stable qu’avec un calcul exact. D`es que la pr´ecision de calcul est limit´ee, elle devient instable. Par exemple en d´ecimal avec 3 chiffres apr`es la virgule :
n0= 3,n1= 3,n2 = 3, d’o`un3:
et le d´efaut augmente tr`es vite avec les termes suivants.
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