CHAPITRE 2. ALG `EBRES DE BOOLE 60
2.2 Calcul des pr´ edicats
Le calcul des propositions n’est pas pratique notamment dans les situations o`u inter- vient l’infini : comment mod´eliser l’infinit´e des in´egalit´es 1612, 2622 , 3632. . . ?
On utilise des variables, des quantificateurs (universel ∀, existentiel ∃) et des pr´edicats(p,q) portant sur une ou plusieurs variables.
Un pr´edicat est une phrase contenant des variables. Suivant la valeur de ces variables, il est soit vrai, soit faux.
Exemple : x ´etant un r´eel, x > 2 est un pr´edicat, not´e p(x). Pour x = 0, il s’´ecrit 0>2 ; c’est alors une proposition dont la valeur de v´erit´e est 0.
Les quantificateurs permettent d’´ecrire des propositions du type :≪il existe un r´eelx tel que x >2≫
∃x∈R, x >2 ou≪pour tout r´eelx,x >2≫:
∀x∈R, x >2
La premi`ere est vraie (x= 10 convient), la seconde est fausse (par exemple pourx= 0).
Autre exemple. Pour traduire≪tout entier naturel est inf´erieur ou ´egal `a son carr´e≫, on peut ´ecrire :
Exemples de pr´edicats `a deux variables :
xest un diviseur dey
∃x∈R, ∃y∈R, x+y= 5
∃x∈R, ∀y∈R, x2 > y
∀x∈R, ∃y∈R, x2 > y
N´egation d’une proposition commen¸cant par un quantificateur
Exemple : la proposition ∃x ∈ R, x >2 est vraie. Sa n´egation doit ˆetre fausse. Sa n´egation est :
∀x∈R, x62 La n´egation de∃x, p(x) est∀x, ¬p(x).
La n´egation de∀x, p(x) est∃x, ¬p(x).
2.3 Langage ensembliste
E et F d´esignent des ensembles.
x∈E signifie quex est un´el´ementdeE.
Exemples : 2∈N;√
2∈/N; √ 2∈R
CHAPITRE 2. ALG `EBRES DE BOOLE 61
2.3.1 Inclusion
E est inclus dansF si∀x, (x∈E⇒x∈F)
On le note :E⊂F et on dit queE est un sous-ensemblede F. Exemple :A={1,2,3},B ={1,2}.B ⊂A, B⊂B, ∅⊂B .
2.3.2 Egalit´ ´ e d’ensembles
Deux ensembles E etF sont ´egaux (on ´ecritE=F) siE⊂F etF ⊂E.
2.3.3 Ensemble des parties de
EP(E) d´esigne l’ensemble de toutes les parties de E.
Exemples : pour A={1,2,3},P(A) ={∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}
2.3.4 Compl´ ementaire
Si E ∈P(F), le compl´ementaire de E dans F est not´e∁FE ou E. C’est l’ensemble {x∈F;x /∈E}
Exemple :E={a;b;c;d;e;f;g},A={a;b;c}.
∁EA=
2.3.5 Intersection et r´ eunion
Aet B ´etant deux ensembles inclus dansE,
A∪B={x∈E ; x∈A ∨ x∈B} A∩B={x∈E ; x∈A ∧ x∈B} Si A∩B=∅,A etB sont disjoints.
Exemple :
CHAPITRE 2. ALG `EBRES DE BOOLE 62
Exercices de logique. Quantificateurs, ensembles
Exercice 2.5. Donner la valeur de v´erit´e de chacune des propositions suivantes.
1. ∃x∈R, x2=x
2. ∀x∈R, (x+ 1)2=x2+ 2x+ 1 3. ∃x∈R, (x+ 1)2=x2+ 2x+ 1 4. ∃x∈[0; 10], 3x2>800
5. ∀x∈R, ∀y∈R, (x+y)3=x3+ 3x2y+ 3xy2+ 1 6. ∀x∈R, ∃y∈R, x=y2
7. ∃x∈R, ∀y∈R, x=y2
8. ∃x∈N, ∃y∈N, x−y est divisible par 2.
Exercice 2.6. Exercices 12 `a 17 de la fiche.
Exercice 2.7. Ecrire `´ a l’aide de quantificateurs les propositions suivantes : 1. Le carr´e de tout r´eel est positif.
2. Certains r´eels sont strictement sup´erieurs `a leur carr´e.
3. Aucun entier n’est sup´erieur `a tous les autres.
4. Tous les r´eels ne sont pas des quotients d’entiers.
5. Il existe un entier multiple de tous les autres.
6. Entre deux r´eels distincts, il existe un rationnel.
7. ´Etant donn´e trois r´eels, il y en a au moins deux de mˆeme signe.
Exercice 2.8. Peut-on intervertir les quantificateurs dans les propositions suivantes ? a)∀n∈N,∃m∈N n>m
b)∀n∈N,∃m∈N n2 >m
Exercice 2.9. On donne les ensembles E = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}, A = {1; 3; 5; 7}, B = {2; 4; 6} etC ={1; 3; 6}.
D´eterminerA∩B, A∩C, B∩C, A∪B, A∪C, B∪C,∁EA,∁EB,∁EC.
Exercice 2.10. On donne les ensembles E = {1; 4; 5; 6; 8; 9}, F = {2; 3; 4; 5; 9}, G = {1; 2; 4; 7; 10}.
D´eterminerA∩(B∪C) puis (A∩B)∪(A∩C)
Exercice 2.11. AetB´etant deux sous-ensembles d’un ensembleE, on d´efinit la diff´erence sym´etrique A△B par
A△B={x∈E ; x∈A∪B ∧ x /∈A∩B} 1. Repr´esenter A△B `a l’aide d’un diagramme.
2. D´eterminerA△A, A△E, A△∅.
3. D´emontrer que pour tous sous-ensemblesA etB de E, A△B=B△A.
4. Exemple : E = {a,b,c,d,e,f,g,h,i}, A = {a,b,c,d,e,f}, B = {b,c,e,g,i} et C = {c,d,e,h}.
Comparer (A△B)△C etA△(B△C).
Exercice 2.12. A et B ´etant deux parties de E, ´ecrire `a l’aide des quantificateurs : A∩B6=∅, A*B, A=∅.
CHAPITRE 2. ALG `EBRES DE BOOLE 63
Exercice 2.13. Soit P l’ensemble des nombres premiers etAune partie de N. ´Ecrire en utilisant les quantificateurs :
A est une partie finie deN. A est une partie infinie deN.
Tout entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 2 admet un diviseur premier.
Les ´el´ements deAont un diviseur premier commun.
Les ´el´ements deAn’ont aucun diviseur premier commun.
Exercice 2.14. D´eterminer les raisonnements qui sont logiquement valides.
1. Tous les ´el`eves sont charmants. Or ´Edouard est charmant. Donc ´Edouard est un
´el`eve.
2. ´Edouard est un ´el`eve. Or tous les ´el`eves sont charmants. Donc ´Edouard est charmant.
3. Aucun ´el`eve n’est charmant. Or ´Edouard n’est pas charmant. Donc ´Edouard est un
´el`eve.
4. Aucun ´el`eve n’est charmant. Or ´Edouard est un ´el`eve. Donc il n’est pas charmant.
5. La plupart des ´el`eves s’appellent ´Edouard. Or tous les ´Edouard sont charmants.
Donc certains ´el`eves sont charmants.
6. Tous les ´el`eves s’appellent ´Edouard. Or certains ´Edouard ne sont pas charmants.
Donc certains ´el`eves sont charmants.
Exercice 2.15. Dans le Loch Ness, on a observ´e des monstres `a deux tˆetes. Un journa- liste annonce : ≪Les monstres du Loch Ness ont tous deux tˆetes≫. Apr`es de nouvelles d´ecouvertes, l’annonce du journaliste s’av´era inexacte. Parmi les 5 phrases suivantes, la- quelle est sans doute vraie ?
1. Il n’existe pas de monstre `a deux tˆetes.
2. Tous les monstres ont soit une tˆete, soit deux tˆetes, voire trois tˆetes.
3. Il existe des monstres `a une tˆete.
4. Il y a des monstres sans tˆete.
5. Il existe un monstre ayant soit une tˆete, soit plus de deux, soit pas de tˆete du tout.
Exercice 2.16. Que penser de l’implication
(∃x; (P(x)∧Q(x))) ⇒ ((∃x;P(x))∧(∃x;Q(x))) ? et de l’implication r´eciproque ?
