A571. A la recherche du gogol
Q1 Déterminer la plus grande puissance de 10 obtenue en multipliant des entiers distincts ≤ 2016.
Donner une liste de ces entiers aussi courte que possible.
Q2 Déterminer le plus petit entier n₀ tel qu'on sait trouver des entiers distincts ≤ n0 dont le produit est égal à un gogol = 10100.
Solution proposée par Claudio Baiocchi
Résultats Pour ce qui concerne Q1 on trouve comme produit de 19 facteurs ; pour ce qui concerne Q2 on représentera le gogol comme produit de 30 facteurs dont le plus grand est 31250.
On va lister les entiers de la forme qui sont au plus égaux à 2016 ; on représente ces entiers comme :
Deux facteurs avec , soit ; leur produit vaut .
Cinq facteurs avec , soit ; leur produit vaut .
Sept facteurs avec , soit ; leur produit vaut .
Cinq facteurs avec , soit ; leur produit vaut .
On s’arrête là car le bilan des puissance de 2 est nul ; tout autre facteur de la forme (y compris le cas de ) donnerait lieu à trop de facteurs 2.
Pour ce qui concerne Q1 on a donc obtenu le nombre en utilisant 19 facteurs distincts.
La même stratégie (recherche de facteurs du type représentés comme .) peut être appliquée pour traiter Q2 ; toutefois la chose est plus compliquée à cause de l’absence d’une borne (telle que 2016 dans le cas de Q1).
On va essayer d’abord avec la borne n0=25000 ce qui, pour x de 6 à 2, permet respectivement un, quatre, six, huit et dix facteurs :
Valeur de x Valeurs de y Borne sur n0
Multipliant par A savoir Donne
6 0 15625
5 De 0 à 3 25000
4 De 0 à 5 20000
3 De 0 à 7 16000
2 De 0 à 9 12800
Le total vaut et on doit s’arrêter là car les facteurs avec x = 0, 1 ne peuvent pas sauver la situation ; ni servirait renoncer par exemple à en faveur de quelques facteurs du type .
Il faut donc augmenter la borne ; naturellement permettre quelque facteur de plus avec x=2, 3 ou 4 ne sert pas ; la variante la moins chère (du point de vue de n0) semble celle qui permet l’entier ; sans utiliser facteurs du type ni du type on a :
Valeur de x Valeurs de y Borne
sur n0 Multipliant par A savoir Donne
6 De 0 à 1 31250
5 De 0 à 3 25000
4 De 0 à 5 20000
3 De 0 à 7 16000
2 De 0 à 9 12800
On a donc représenté le gogol sous la forme de produit de 30 facteurs au plus égaux à 31250.