A10217. La grosse tˆ ete
C’est celle de Pierre Leca (pseudonyme d’un camarade) : il calcule de tˆete le 2006e chiffre du quotient de la division deA (nombre qui s’´ecrit avec 2718 chiffres 1) parB = 12345678987654321.
Sauriez-vous en faire autant ? Solution
On observe que A est multiple de 111111111, qui a pour carr´e B. En base de num´erationb= 109, 9A=b302−1 et 81B = (b−1)2. Ainsi
A
B = 9b302−1 (b−1)2 =
301
X
m=1
9mb301−m+ 2718 b−1.
En laissant tomber le terme 2718/(b−1) (inf´erieur `a 1), on obtient le quotient euclidien, qui a comme premier chiffre 000000009 en baseb, et 9 en base 10.
Lem-i`eme chiffre deA/B en base best 9mpour m≤301, et est form´e par les chiffres de rang 9m−16 `a 9m−8 de l’´ecriture d´ecimale.
Le 2006e chiffre d´ecimal appartient au 224e chiffre en base b (couvrant les rangs 2000 `a 2008 en base 10), c’est l’ant´ep´enulti`eme de 9m= 9·224 = 2016, c’est donc un z´ero, ce qui n’est pas pour autant un r´esultat insignifiant : Pierre Leca nous rappelle la joie de notre (illustre et imaginaire) antique le savant Cosinus obtenant un r´esultat similaire.
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