D20185. La tˆ ete dans les ´ etoiles
Par une nuit d’´et´e, Dunabla contemple le ciel o`u il voit un millier d’´etoiles, comme sur un gigantesque ´ecran plat de cin´ema. Dans sa tˆete, il choisit deux
´etoiles qu’il relie par une droite, et s’aper¸coit qu’au moins une autre ´etoile est sur cette droite. Il recommence avec deux autres ´etoiles : la droite qui les relie passe encore par une autre. Il recommence dix fois, cent fois ; mˆeme constatation : la droite qui passe par deux ´etoiles passe par au moins une troisi`eme. Dunabla est tent´e d’en d´eduire une r`egle g´en´erale : quelle que soit la paire d’´etoiles parmi les mille, la droite qui passe par elles passe toujours par au moins une troisi`eme. Pouvez-vous montrer `a Dunabla son erreur ? Solution
Prenant une photo de ce ciel, je consid`ere tous les alignements de deux ´etoiles ou plus, et j’affecte `a chacune de ces droites une valeur : la plus petite des distances `a cette droite des ´etoiles qui ne sont pas sur cette droite.
Soit D la droite de plus petite valeur V, et E une ´etoile ayant V pour distance `a D.
Supposons que D passe par 3 ´etoiles A, B, C; dans chacun des triangles EBC,ECA,EAB, chaque hauteur est la distance d’une ´etoile `a un aligne- ment d’´etoiles ; donc aucune hauteur n’est strictement inf´erieure `aV =EH, hauteur abaiss´ee deE surD; aucun cˆot´e d’un de ces triangles n’est stricte- ment plus grand que le cˆot´e port´e par D.
Cela exige queH appartienne `a l’int´erieur de chacun des segmentsBC,CA, AB; or cela est impossible :Dne passe donc que par deux ´etoiles.
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