Casse-tˆ ete de Juin 2015
Quelques remarques pr´ealables:
1/ Un circuit ferm´e a autant de d´eplacements positifs que n´egatifs suivant les 3 axes. Le circuit comprend donc un nombre pair de segments et traverse le mˆeme nombre de noeuds (en comptant le noeud de d´epart 1 seule fois). Comme il y a 27 noeuds, ce nombre ne peut pas d´epasser 26.
2/ Le noeud de d´epart ´etant un sommet du grand cube, le 1er segment sera l’une des arˆetes et le 2`eme segment joindra le milieu de l’arˆete au centre d’une des faces ext´erieures adjacentes. On peut donc imposer les 2 premiers segments avec l’avantage qu’on ´evite ainsi les solutions qui se d´eduisent l’une de l’autre par rotation ou par sym´etrie. J’ai fix´e les premiers noeuds comme suit:
@⇒C⇒D.
Pour la recherche des solutions, rien ne vaut l’informatique, mˆeme si la mise au point du programme a ´et´e d´elicate.
Il y a finalement un tr`es grand nombre de solutions:
Longueur 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
Nombre de solutions 1 4 4 37 167 526 1015 1418 930 440 14
Voici les 14 solutions `a 24 segments:
@.C.D.A.B.K.N.E.H.Q.P.G.F.O.L.U.X.Y.V.W.T.S.J.I.@
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et la repr´esentation graphique de la premi`ere de ces solutions:
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Figure 1: Trajet de la fourmi
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