J158. Le casse-tˆ ete du Golfe
Dans une grille N × N, il y a 2N(N − 1) sommes de cellules adjacentes r´eparties dans l’intervalle[3..2N2−1], donc `a priori assez de valeurs disponibles pour qu’elles soient toutes diff´erentes.
En remplissant les grilles par diagonales successives, on trouve effectivement une solution quel que soitN :
On a 2 types de diagonales parall`eles : celles des cellules et celles des sommes (en bleu). Etant donn´e le mode de construction, les diagonales de sommes con- tiennent des suites de valeurs contig¨ues (3 `a 4, 6 `a 9, ...) avec une valeur absente entre 2 suites successives.
Pour prouver que toutes les sommes sont distinctes, on raisonne par r´ecurrence.
A partir de la grille(N −1)×(N −1)suppos´ee correcte, il suffit de v´erifier la diagonale des sommes qui pr´ec`ede la grande diagonale des cellules, puisque toutes celles qui pr´ec`edent existent aussi dans la grille(N −1)×(N −1).
La grande diagonale contient lesN valeurs de N2−N + 2
2 `a N2+N 2
1
La diagonale pr´ec´edente contient lesN−1valeurs deN2−3N + 4
2 `aN2−N 2 Ensemble, elles forment toutes les sommes deN2−2N + 3`aN2. On trouve bien la suite attendue avec un intervalle de 1 en(N −1)2+ 1.
Et la diagonale de sommes qui suit la grande diagonale commence `a la valeur N2+ 2, apr`es un intervalle de 1.
2
