D249- Le casse-tête d’Erdös et ses variantes [***** à la main]
On considère n >2 points du plan tels que trois d'entre eux ne sont jamais sur une même droite et quatre d'entre eux ne sont jamais sur un même cercle.
Pour chaque valeur de n variant de 3 à 8, il s'agit de trouver une configuration des points dans laquelle parmi les n(n-1)/2 distances qui les séparent il y en a n - 1 différentes numérotées k = 1,2,...n-1 et la distance n° k apparaît k fois.
Variantes très simplifiées : on admet l'existence de trois points ou plus alignés sur une même droite puis de quatre points ou plus sur un même cercle.
Extension très compliquée : existe-t-il une configuration pour n = 9 ? Source : Paul Erdös. Distances with specified multiplicities.
Solution
Daniel Collignon nous signale l’ouvrage de H.T. Croft, R.K. Guy et K.J. Falconer
« Unsolved problems in geometry » dans lequel la page 153 consultable uniquement à l’écran, donne la solution du casse-tête de Paul Erdös pour n = 8 et évoque très brièvement les
solutions pour les plus petites valeurs de n.
http://books.google.fr/books?id=S5CD-
YceX6QC&lpg=PA153&ots=22XJQGozso&pg=PA153#v=onepage&q=&f=false On peut signaler également le lien http://books.google.com/books?id=2SE-
XDLEcdEC&pg=PA444&dq=llona+palasti&ei=tsqrS8fAFJTqzASN7NzmDQ&hl=fr&cd=1#
v=onepage&q=&f=false
qui mentionne les travaux de la mathématicienne hongroise IIona Palasti sur les problèmes géométriques posés par son compatriote Paul Erdös. Deux solutions qu’elle a données du casse-tête pour n = 7 et n = 8 sont décrites ci-après.
Variantes simplifiées.
- Les points peuvent être alignés sur une même droite : n points situés sur une même droite et régulièrement espacés de la même distance a répondent au problème. En effet, il y a n-1 segments de longueur, n-2 de longueur 2a,....,1 seul segment de longueur (n-1)a.
- Trois points ne sont jamais sur une même droite mais quatre points ou plus peuvent se trouver sur un même cercle
Les constructions des ensembles de n points peuvent s’opérer de la manière suivante : 1) Avec trois points, on construit un triangle isocèle 123 avec les côtés 12 et 13 égaux et
la base 23 .
2) Le quatrième point donne un trapèze isocèle avec trois distances égales 12,13 et 24, deux autres distances égales 14 et 23 et la dernière distance 34.
3) Le centre du cercle circonscrit au trapèze 1234 donne le cinquième point. D’où quatre distances égales :15,25,35 et 45, le reste étant sans changement.
4) Toujours avec la même structure, mais en modifiant la distribution des distances entre les points, on introduit un sixième point qui est le point le plus haut du cercle
circonscrit au trapèze. D’où le pentagone 12364 avec les cinq distances égales 15,45,65,35 et 25, les quatre distances 14,46,63 et 32 puis les trois distances 16,26 et 34, les deux distances 13 et 24 et la dernière distance 12.
5) On garde la même méthode avec les 6ème et 7ème points placés sur la circonférence du cercle circonscrit au pentagone (voir figure ci-après). Elle peut s’étendre à un nombre quelconque de points sur le cercle.
Dans les figures ci-après, les segments de même longueur sont d’une même couleur.
Cas général : trois points ne sont jamais sur une même droite et quatre points ne sont jamais sur un même cercle.
On constate empiriquement que dès les petites valeurs de n, les configurations qui comportent des sous-ensembles de trois points placés aux sommets d’un triangle
équilatéral permettent de trouver plus facilement des distances qui apparaissent trois fois ou plus.
On va donc rechercher les points situés dans un réseau maillé à l’intersection de lignes horizontales séparées par la distance unité et de lignes verticales séparées par la distance
3. On vérifie qu’il y a un très grand nombre d’ensembles de trois points de ce maillage qui donnent un triangle équilatéral. A titre d’exemples : les points (0,1), ( 3,0) et ( 3,2) du triangle rouge ci-dessus ou encore les points (0,3), ( 3,0) et (2 3,3) du triangle bleu ou encore les points ( 3,0), (3 3/2, 4.5) et (7 3/2,1.5) du triangle vert.
Dans les figures ci-après, les segments de même longueur sont toujours d’une même couleur.
1) n= 3 et n = 4 : les constructions sont immédiates
n=3 : triangle isocèle ABC et n = 4 : le point D à l’intérieur de ABC forme un triangle équilatéral ( le premier de la série) avec AB = BD = DA = 2 3
2) n= 5
A partir de la configuration n = 4, on introduit le point E de coordonnées (5 3,5) tel que ACE est un deuxième triangle équilatéral avec AE=AC=CE=BC=2 13 . Par ailleurs BE = CD = 4.
On vérifie aisément que quatre points parmi les cinq ne sont jamais sur le même cercle.
3) n = 6
Toujours en partant de la configuration précédente, on introduit le point F de coordonnées (0,2) tel que DFC est un troisième triangle équilatéral et BCF est un triangle isocèle. On obtient ainsi cinq
distances AE = AC = CE = BC = BF égales à 2 13 . D’autre part BE = CD = DF = FC = 4. Enfin AF = DE = 2 7 et EF = 2 21
On vérifie que quatre points parmi les six ne sont jamais sur le même cercle.
Il existe une deuxième configuration possible illustrée par la figure ci-après. Les triangles ABC, BDE et CEF sont équilatéraux tandis que les triangles ACD et DAF sont isocèles.
On obtient AB = BC = CA = DA = DF = 2 7, puis BD = DE = EB = AF = 2 3, CE
= EF = FC = 4, AE = CD = 2 et EF = 2 13 .
On vérifie que quatre points parmi les six ne sont jamais sur le même cercle.
4) n = 7
La configuration ci-dessus peut servir de base pour donner un premier ensemble de sept points.
Grâce à un septième point G de coordonnées (3 3,7), on introduit le triangle équilatéral BEG et le triangle isocèle GCF.
D’où six distances égales entre elles : AF = BD = DE = EB = BG = GE = 2 3, cinq distances AB = BC = CA = DA = DF égales comme précédemment à 2 7, puis quatre distances égales à 4 = CE = EF = FC = AG, puis trois distances BF = GC = GF = 2 13 , deux distances AE et CD égales à 2 et enfin DG de longueur 6 qui apparaît pour la première fois.
On vérifie que quatre points parmi les sept ne sont jamais sur le même cercle.
Ilona Palasti a trouvé une configuration beaucoup plus « ramassée » qui repose sur deux triangles équilatéraux seulement :
Les distances 2 5 6 ,2 3 6 ,2 2 , 2, 2 3 et 2 3 6 apparaissent respectivement 1,2,3,4,5 et 6 fois.
On vérifie que quatre points parmi les sept ne sont jamais sur le même cercle.
5) n = 8
Nous reproduisons ci-après la solution de Ilona Palasti dans laquelle on retrouve les six points A,B,C,D,E,F de la configuration n = 6. Les deux nouveaux points G et H de coordonnées (4 3,0) et (3 3,9) font apparaître trois nouveaux triangles équilatéraux BFG, DEG et DEH ainsi que le triangle isocèle HCG. Les distances 2,
19
2 , 2 21, 2 3,4, 2 7 et 2 13 sont représentées respectivement 1,2,3,4,5,6 et 7 fois. On vérifie que quatre points parmi les huit ne sont jamais sur le même cercle.
6) Pour n > 8, le problème reste ouvert.
