Exercice 2. Cercle circonscrit (8 points)

Correction Devoir Surveillé n˚5 (Bilan)

Devoir de Noël

Durée 2 heures - Coeff. 8

Exercice 1. Vrai ou Faux (6,5 points)

1. [0,5 point] : FAUX.

Pour tout réelk,(x+ 1)²≥0et donc sikest négatif, l’équation(E1)n’admet aucune solution réelles.

2. [0,5 point] : FAUX.

Pourx= 1on a :√

x²+ 9 =√

1²+ 9 =√

106= 1 + 3 3. [1 point] : VRAI.

Pour tout réelxon a :x²−4x+ 4 = (x−2)²≥0et doncx²−4x≥ −4.

4. [1 point] : FAUX.

La forme développée deA(x) = 2x−(−4x+ 1)²est16x²+ 10x−1.

En effetA(x) = 2x−(−4x+ 1)²= 2x−(16x²−8x+ 1) =−16x²+ 10x−1 5. [0,5 point] : FAUX.

La fonction inverse est décroissante sur]−∞; 0[et sur]0 ; +∞[mais pas sur l’union des deux.

En effet, par exemple−10<2mais les deux inverses sont rangés dans le même ordre 1

−10 <1 2. 6. [1 point] : VRAI.

On a : 4√ 5 3−√

5 = 4√

5× 3 +√ 5 3−√

5

× 3 +√

5 =12√ 5 + 20 9−5 = 3√

5 + 5.

7. [1 point] : FAUX.

Dans le repère(B; A; C), les points A et B sont de coordonnéesA(1 ; 0)etB(0 ; 0). Donc le milieu I du segment [BA] est de coordonnéesI

1 2 ; 0

. 8. [1 point] : VRAI.

Dans un groupe de 120 personnes, la moyenne globale des âges est de 28 ans. La moyenne des âges des 50 hommes est de 33 ans. Monsieur Le Fourbe affirme que la moyenne des âges des femmes est de 24 ans et 5 mois. A-t-il raison ?

• 50 hommes à 33 ans cela donne un total de :50×33 = 1 650ans ;

• La moyenne est de 28 ans soit pour les 120 personnes un total de :120×28 = 3 360ans ;

• Les 70 femmes ont donc un total de3 360−1 650 = 1 710ans ;

• Or1 710

70 ≈24,42857soit 24 ans et0,42857×12≈5,14mois.

Exercice 2. Cercle circonscrit (8 points)

Soit(O , I , J)un repère orthonormée du plan. On considère les points

A(−3 ; −1) , B(−2 ; 2) , C(3 ; −3) 1. Faire une figure dans le repère ci-dessous, qui sera complétée par la suite.

2. [2 points] Démontrer queABCest rectangle enA.

On est dans un repère orthonormé donc le calcul des distances est légitime.

• AB²= (−2 + 3)²+ (2 + 1)²= (1)²+ (3)²= 1 + 9 donc AB²= 10

• CB²= (−2−3)²+ (2 + 3)²= (−5)²+ (5)²= 25 + 25 donc CB²= 50

• AC²= (3 + 3)²+ (−3 + 1)²= (6)²+ (−2)²= 36 + 4 donc AC²= 40

De plus : Si le triangle ABC est rectangle, c’est enAcar[BC]est le plus grand côté.

Or

CB² = 50

AB²+AC² = 10 + 40 = 50 donc on a égalité,

BC²=BA²+AC²= 50

et d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A .

3. [1 point] Déterminer les coordonnées du point H, centre du cercleC circonscrit au triangle ABC.

Le triangle ABC étant rectangle enA, le centreH du cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse[BC]et donc le pointHest de coordonnéesH

−2 + 3

2 ; 2−3 2

soit

H 1

2 ; −1 2

.

4. [0,5 point] Calculer le rayon de ce cercleC.

Le centreH du cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse[BC]et donc le rayonrdu cercle est r=BC

2 =

√50 2 = 5

2

√2

5. [1 point] Le pointD(−2;−3)appartient-il au cercleC?

Le cercleC est constitué de l’ensemble des points du plan situés à une distancer= 5 2

√2du centreH. Calculons donc la distanceHDpour la comparer au rayon du cercle.

HD= s

−2−1 2

2

+

−3 + 1 2

2

= s

−5 2

2

+ −5

2 2

HD= r25

4 +25 4 =

r50 4 = 5

2

√2 =r

Et puisqueHD=r

Le pointDappartient donc au cercleC

H; r=5 2

√2

’

6. [1 point] Déterminer les coordonnées du pointD^′, le symétrique du pointDpar rapport au pointH.

Le pointD^′ est le symétrique du pointDpar rapport au pointH si et seulement siH est le milieu du segment[DD^′].

Or

H =mil[DD^′]⇐⇒







xH = xD+xD^′

2 yH = yD+yD^′

2

⇐⇒

( xD^′ = 2xH−xD

yD^′ = 2yH−yD

H =mil[DD^′]⇐⇒







xD^′ = 2×1

2+ 2 = 3 yD^′ = 2×−1

2 + 3 = 2

Les coordonnées du pointD^′, le symétrique du pointDpar rapport au pointH sont donc D^′(3 ; 2). 7. [1 point] Que dire du quadrilatèreBDCD^′?

• Par construction, les diagonales du quadrilatèreBDCD^′ se coupent en leur milieuH donc c’est unparallélo- gramme.

• De plus, le pointDappartient à la médiatrice du segment[BC]d’après la question 6˚), donc il est équidistant aux pointsBetCce qui implique que la parallélogramme a deux côtés consécutifs de même mesure, c’est donc un losange.

• En outre, les diagonales[BC]et[DD^′]du losange, sont des diamètres du cercleC. En effet par construction, D^′est l’image deDpar la symétrie de centreH =mil[BC]. De ce fait les diagonales deBDCD^′ont la même mesure, le losange est aussi un rectangle.Le quadrilatèreBDCD^′est donc un carré.

8. [1,5 point]SoitM le pied de la hauteur issue deAdans le triangleABC. Calculer la longueurAM.

• D’une part, puisque ABC est rectangle enAon a : Aire(ABC) = AB×AC

2 =

√10×√ 40

2 = 10 u.a.

• D’autre part, en considérant la base[BC]associée à la hauteur[AM]on a : Aire(ABC) = BC×AM

2 =

√50×AM

2 u.a.

On peut donc écrire que :

AM =2×Aire(ABC)

√50 = 2×10

√50 AM = 20

√50= 20√ 50 50 = 2

5×√ 50 = 2

5×5√ 2

AM = 2√ 2

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

−5

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

−5

bA

bB

b C

b H

bD

b D^′

Exercice 3. Des fonctions (11 points)

[3 points] Lectures graphiques 1. [0,5 point] D_g = [−4 ; 6].

2. [0,5 point] Les images par la fonction g de −4 et de 4 sont :g(−4) =−5 , g(4) =−2.

3. [0,5 point]L’antécédent pargde 4est−1et ceux de−3pargsont 3et environ−3,7.

4. [0,5 point]

E={x∈[−4 ; 5], g(x)≥0}= [−3 ; 1]∪[5 ; 6]. 5. Extrema.

• [0,5 point] Le maximumdeg sur son ensemble de définition est4, il est atteint pourx=−1.

• [0,5 point] Le minimumdegsur son ensemble de définition est

−5, il est atteint pourx=−4.

6. [0,5 point]L’ensembleF des réels qui ont exactement 3 antécédents par la fonctiongest F =]−3 ; 2].

1 2 3 4 5 6 7

−1

−2

−3

−4

−5

−6

1 2 3 4 5 6 7

−1

−2

−3

−4

−5

−6 x

y

b b b b b b b b b b

C

C

7. [2,5 points] Tableau de variation.

7. a. [0,5 point]Dresser sur votre copie le tableau de variation de la fonctiong.

x

g(x)

−4 −1 3 6

−5

−5

4 4

−3

−3

2 2 α

3

β

3

7. b. [0,5 point]Donner un encadrement deg(x)sur l’intervalle[−1 ; 6].

Six∈[−1 ; 6]alors−3≤g(x)≤4

7. c. [1 point]Donner, en justifiant brièvement, le nombre de solutions de l’équationg(x) = 3.

On observe dans chaque intervalles du tableau de variations, si3possède un antécédent parg.

• Sur[−4 ; −1]:gest croissante avec

( g(−4) =−5<3 g(−1) = 4>3 ,

donc il semble que l’équationg(x) = 3admette une solution (unique) notéeαsur[−4 ; −1].

• Sur[−1 ; 3]:gest décroissante avec

( g(−1) = 4>3 g(3) =−3<3 ,

donc il semble que l’équationg(x) = 3admette une solution (unique) notéeβsur[−1 ; 3].

• Sur[3 ; 6]:gest croissante etg(6) = 2donc2est un maximum relatif, atteint pourx= 6.

L’équationg(x) = 3n’admet pas de solution sur[3 ; 6].

En conséquence,

L’équationg(x) = 3admet deux solutions surD_g = [−4 ; 6]

8. [6 points] Une autre fonction

On considère maintenant la fonctionhdéfinie parh(x) = −3 x+ 2+ 2.

8. a. [0,5 point] Ensemble de définition.

Valeur interdite : L’expressionh(x)est définie six+ 26= 0donc pourx6=−2.

D_h=R\ {−2}

8. b. [2 points] Variations:

• Étudier les variations dehsur l’intervalle]−∞; −2[.

Soit deux réelsaetbde l’intervalle]−∞; −2[, alors si : a≤b <−2

a+ 2≤b+ 2<0 : On ajoute 2 à chaque membre ; 1

a+ 2 ≥ 1

b+ 2 : On compose par la fonction inverse décroissante sur]−∞; 0[, l’ordre change ;

−3

a+ 2 ≤ −3

b+ 2 : On multiplie par−3<0, l’ordre change ;

−3

a+ 2+ 2≤ −3

b+ 2+ 2 : On ajoute 2 à chaque membre ; h(a)≤h(b)

La fonctionhest donc croissante sur l’intervalle]−∞; −2[

• Sur l’intervalle]−2 ; +∞[.

Soit deux réelsaetbde l’intervalle]−2 ; +∞[, alors si :

−2< a≤b

0< a+ 2≤b+ 2 : On ajoute 2 à chaque membre ; 1

a+ 2≤ 1

b+ 2 : On compose par la fonction inverse décroissante sur]−2 ; +∞[, l’ordre change ;

−3

a+ 2≤ −3

b+ 2 : On multiplie par−3<0, l’ordre change ;

−3

a+ 2 + 2≤ −3

b+ 2+ 2 : On ajoute 2 à chaque membre ; h(a)≤ h(b)

La fonctionhest donc croissante sur l’intervalle]−2 ; +∞[ 8. c. [0,5 points] Dresser alors le tableau de variations de la fonctionh.

x

Variations de

h

−∞ −2 +∞

2 2

+∞

−∞

2 2

8. d. [1 point]Construire sur cette feuille et dans le repère ci-dessus, la courbe représentative de la fonctionh.

8. e. [1 point]Déterminer graphiquement les solutions de l’équationh(x) = g(x). Les solutions de l’équation h(x) =g(x)sont x1≈0,5 et x2≈5,8.

8. f. [1 point]Résoudre l’équation(E2) : h(x) = −3

x+ 2+ 2 = 1 x+ 3 + 2

• 1^èreétape: On détermine lesvaleurs interdites.

Ici il faut que le dénominateur des deux membres soit non nul donc que :

( x+ 26= 0 ⇔ x6=−2 x+ 36= 0 ⇔ x6=−3

On va résoudre l’équation sur R\ {−2 ; −3} .

• 2^èmeétape: On applique lethéorème.

(E2) : −3

x+ 2+ 2 = 1

x+ 3+ 2⇐⇒ −3

x+ 2 = 1 x+ 3

⇐⇒

( 1˚) −3(x+ 3) = (x+ 2) 2˚) x6=−2 et x6=−3

⇐⇒

( 1˚) −3x−9 =x+ 2 2˚) x6=−2 et x6=−3

⇐⇒

( 1˚) −4x= 11

2˚) x6=−2 et x6=−3

⇐⇒







1˚) x=−11 4

2˚) x6=−2 et x6=−3

L’ensemble des solutions de l’équation(E7)dansR\ {−2 ; −3}est donc S(E2)=

−11 4

Exercice 4. Choisir une forme adaptée (9,5 points)

Soit une fonctionfdéfinie surRpar :f(x) = (x−2)(3−5x) + 4(−2 +x)² 1. Écrire et transformer:

1. a. [1 point]Pour tout réelx: f(x) =−x²−3x+ 10. 1. b. [1 point]Factoriser : f(x) = (x−2)(−x−5).

1. c. [1 point]Pour tout réelx: f(x) =−

x+3 2

2

+49 4 . [Bonus +0,5 point]si obtenue à partir de la forme développée 1a).

2. [5,5 point] Choisir l’expression la plus adaptée pour répondre aux questions suivantes: 2. a. [1 point]Calculer : f

−3 2

=49

4 et f(−5) = 0. 2. b. [1,5 points]Résoudre dansRles équations :

2. b. 1. [0,75 point](E3) :f(x) =49

4 : on obtient S(E3)=

−3 2

2. b. 2. [0,75 point](E4) :f(x) = 2x²+ 10: on obtient S(E4)={−1 ; 0}

2. c. [1 point]Déterminer le maximum de la fonctionfsurRet le réel pour lequel il est atteint.

On va utiliser la forme de la question 1c) pour cela.

∀x∈R , −

x+3 2

2

≤0 et donc

∀x∈R , −

x+3 2

2

+49

4 ≤0 + 49 4 soit

∀x∈R , f(x)≤ 49 4

En outre d’après la question 2a), ce majorant est atteint pourx= −3

2 c’est donc le maximum def. Le maximum defest49

4 , il est atteint pourx=−3 2 3. [3 points] Variations def.

3. a. [2 points] Étudier les variations def sur l’intervalle]−∞; −1,5]puis sur l’intervalle[−1,5 ; +∞[.

• Sur]−∞; −1,5]:

Soit deux réelsaetbde l’intervalle]−∞; −1,5], alors si : a≤b≤ −1,5

a+ 1,5≤b+ 1,5≤0 : On ajoute 1,5 à chaque membre ;

(a+ 1,5)²≥(b+ 1,5)² : On compose par la fonction carrée décroissante sur]−∞; 0[, l’ordre change ;

−(a+ 1,5)²≤ −(b+ 1,5)² : On multiplie par−1<0, l’ordre change ;

−(a+ 1,5)²+49

4 ≤ −(b+ 1,5)²+49

4 : On ajoute49

4 à chaque membre ; f(a)≤f(b)

La fonctionf est donc croissante sur l’intervalle]−∞; −1,5]

• Sur]−1,5 ; +∞]:

Soit deux réelsaetbde l’intervalle[−1,5 ; +∞], alors si : a≥b≥ −1,5

a+ 1,5≥b+ 1,5≥0 : On ajoute 1,5 à chaque membre ;

(a+ 1,5)²≥(b+ 1,5)² : On compose par la fonction carrée croissante sur[0 ; +∞[, l’ordre est inchangé ;

−(a+ 1,5)²≤ −(b+ 1,5)² : On multiplie par−1<0, l’ordre change ;

−(a+ 1,5)²+49

4 ≤ −(b+ 1,5)²+49

4 : On ajoute49

4 à chaque membre ; f(a)≤f(b)

La fonctionf est donc décroissante sur l’intervalle[−1,5 ; +∞[ 3. b. [0.5 point]Dresser alors le tableau de variations de la fonctionf.

x Variations

de f

−∞ −3

2 +∞

−∞

−∞

49 4 49

4

−∞

−∞

3. c. [0.5 point]A l’aide du tableau de variations retrouver le résultat de la question2c.

Exercice 5. Intervalle de fluctuation (5 points)

On lance 800 fois un dé octaédrique (à huit faces), chaque face étant numérotée de 1 à 8. On appellef la fréquence de sortie d’un nombre pair.

1. [0.25 point]La probabilité d’obtenir un nombre pair est p=1 2 .

2. [1,25 point] DéterminerI, l’intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquencef au seuil95%.

• On fait l’hypothèse que le dé n’est pas truqué, il y a donc 1 chance sur 2 d’obtenir un nombre pair soit p= 0,5 = 50%

• On assimile la situation à un échantillon de taillen = 800, avec une probabilitép= 0,5d’obtenir un nombre pair.

• Les conditions sont vérifiées:

( n= 800≥25 0,2≤p= 0,5≤0,8

• Intervalle de fluctuation:I=

p− 1

√n; p+ 1

√n

=

0,5− 1

√800; 0,5 + 1

√800

soit I≈[0,46 ; 0,54]

3. Sur les 800 lancers, on obtient :

Face 1 2 3 4 5 6 7 8 Total

Effectifs 120 80 122 78 123 105 95 77 800

Effectifs cumulés croissants 120 200 322 400 523 628 723 800 . ..

3. a. [2 points] Déterminer la médiane, la moyenne et les quartilesQ¹etQ³de la série.

• Médiane: Il y a 800 valeurs,800÷2 = 400donc la médiane est la moyenne des400^eet401^evaleurs soit Me=4 + 5

2 = 4,5

• Moyenne:

m=1×120 + 2×80 +· · ·+ 8×77

800 =3 484

800 = 4,355

• Il y a 800 valeurs,800÷4 = 200donc le quartileQ1est la200^evaleur soit Q1= 2.

• Il y a 800 valeurs,(800÷4)×3 = 600donc le quartileQ3est la600^evaleur soit Q3= 6 .

3. b. [1,5 point] La fréquencef de sortie d’un nombre pair appartient-elle à l’intervalle de fluctuationI? Que peut-on en conclure ?

Le nombre de sorties d’un nombre pair est : N = 80 + 78 + 105 + 77 = 340.

La fréquence observéef estf = 340

800 = 0,425∈/ I= [0,46 ; 0,54]donc on rejette l’hypothèse, le dé est sans doute mal équilibré (ou truqué).

- Fin du devoir -

Bonne année