Casse-tête de Diophante
mars 2016
Ce mois-ci, vous prenez une règle et un compas pour tracer un pentagone régulier ABCDE (vous vérifierez que c'est possible!).
Soit un point M sur l'arc DE du cercle circonscrit à ce pentagone.
Vous disposez des distances arrondies au mètre le plus proche des quatre cordes : MA = 1830, MB = 2377, MD = 885 et ME = 584.
Vous ignorez tout de la trigonométrie.
Déterminez (de tête) la distance MC au mètre le plus proche.
Solution
J'ai vague souvenance que le nombre d'Or ( φ = 1,618 … ) figure en abondance dans le pentagone régulier.
Choisissons l'unité de surface de telle sorte que l'aire d'un triangle PQR, dont l'angle en P vaut π/5, soit le produit des distances PQ*PR. On observe alors que l'aire d'un triangle PQR, dont l'angle en P vaut 2π/5 ou 3π/5, est le produit φ*PQ*PR.
Calculons W = aire(ABE) = aire(ABME) – aire(BME)
= [ 584*1830 + 1830*2377 ] - 1,618*584*2377 = 3172574.176 Par ailleurs, calculons de deux manières :
S = aire(BCDM) = aire(BDM) + aire(BCD)
= 1,618*2377*885 + W = 3403697.61 + 3172574.176 = 6576271.786
et S = aire(BCDM) = aire(BCM) + aire(CDM)
= 2377*X + X*885 = (2377 + 885)*X = 3262*X alors X = 6576271.786 / 3262 =
2016
Vu le résultat, je conclus que je ne me suis pas trompé dans mes calculs !
