Enoncé D293 (Diophante) Distances fermatiennes
Soit un triangle ABC dont les sommets ont pour coordonnées A(1,8), B(0,0) etC(10,0) dans le plan orthonormé Oxy.
On trace un point Dde coordonnées (4,3), son symétriqueE par rapport à BC, puis le point P dont la somme des distances aux points A, B, C et Dest minimale et enfin le pointQdont la somme des distances aux points A, B, C etE est minimale.
Déterminez la distanceP Q. Justifiez votre réponse.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Considérons d’abord les pointsA, B, C, E formant le quadrilatère convexe ABEC; tout point extérieur peut être déplacé de façon à se rapprocher de chacun des 4 sommets ; Q est donc intérieur ; la somme des distances QA+QB+QC+QEs’interprète comme l’énergie potenrielle deQsoumis à 4 forces unitéQa, Qb, Qc, Qe dirigées vers les 4 sommets. La résultante deQaetQbest dirigée selon leur bissectrice, de même que la résultante de QcetQe; au point Qminimisant la somme, le point est en équilibre avec l’énergie minimale ; les deux résultantes se neutralisent ; or leurs grandeurs sont respectivement 2 cos(AQB/2) et 2 cos(CQE/2). L’égalité des angles et l’alignement des bissectrices ne se produisent qu’à l’intersection des diagonalesAE∩BC, pour laquelle on obtient les coordonnéesQ(35/11,0).
Il n’en est pas de même pour les points A, B, C, D car D est intérieur au triangleABC. Les segmentsDA, DB, DC ne rencontrent pas les côtés opposésBC, CA, AB.
Si par exempleP appartenait au triangleBCD,AetDseraient intérieurs à l’angle formé par les prolongements deBP etCP, d’où6 DP A <6 BP C, et les résultantes ne peuvent s’annuler, l’attraction du côté de AD l’em- portant. La situation est comparable au problème de Fermat (minimum des sommes des distances aux sommets d’un triangle) quand un des angles dépasse 120° ; on sait qu’en ce cas le minimum est au sommet de cet angle.
Dans le cas présent, la somme minimale est DA+DB +DC, obtenue en D avec qui P se confond. Les coordonnées P(4,3) conduisent alors à P Q= (3/11)√
130 = 3,11 environ.
